Onafhankelijkheid

[Ernie]

Als X en Y onafhankelijke toevalsvariabelen zijn en a is een positieve reëel getal, zijn a^X en a^Y dan ook onafhankelijk?

Zo ja, waarom?

[Bert F]

zijn

\(a^X en a^Y \)

afhankelijk van mekaar? nee want je hebt gegeven een a en je berekent eenvoudig weg het eerste getal en het tweede apart en dit omdat x en y onafhankelijk zijn maw x en y hangen niet van mekaar af.

dus zijn ze onafhankelijk van mekaar.

Groeten.

[Ernie]

Dat vind ik toch geen bewijs hoor.

[Bert F]

Dat vind ik toch geen bewijs hoor.

Hoe zou jij het aanpakken? Eventueel vanuit het omgerijmde onderstel een afhankeijkheid en omwille van het feit dat er geen enkel verband is zijn ze dus onafhankelijk.

Ik zie perfect in dat er tussen die twee geen verband is maar kan je dat sluitend bewijzen?

[Bert F]

ik denk iets te hebben neem ln

\(X\ln(a) en Y\ln(a) \)

deel nu beiden door

\(\ln(a)\)

en je bekomt idd gewoon x en y en die zijn gewoon toevalsveranderlijken dus geen verband.

Groeten.

[dr. E. Noether]

Ik ken niet direct de Nederlandse benaming, maar dit staat bekend als 'propagation of independence'. Vast iets als 'voortplanting van onafhankelijkheid'. De stelling luidt als volgt (zoiets, ik heb niet het boek bij de hand):

Voortplanting van onafhankelijkheid: Zij \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) ofhankelijke stochasten en \( g : \rr \to \rr \) een functie. Definieer \( Y_i := g(X_i), (i = 1,2,\ldots,n) \), dan zijn \( Y_1, Y_2, \ldots, Y_n \) ook onafhankelijk.

Bij jouw is dus \( g : \rr \to \rr \) gegeven door \( g(x) = a^x \) met \( a \in \rr_{>0} \).

[Bert F]

bijgevolg kan ik het op die manier bewijzen?

[dr. E. Noether]

Bert, voor deze specifieke situatie neig ik ook naar een iets zoals jij deed. Als er dan toch iets wiskundigs opgeschreven zou moeten worden, dan misschien zoiets: \( a^X \) en \( a^Y \) heten onafhankelijk als \( P(a^X \leq x, a^Y \leq y) = P(a^X \leq x) \cdot P(a^Y \leq y) \). Aldus, \( P(a^X \leq x, a^Y \leq y) = P(X \leq ^a \log x, Y \leq ^a\log y) = \) \( P(X \leq {^a\log x}) \cdot P(Y \leq ^a\log y) = P(a^X\leq x) \cdot P(a^Y \leq y) \). De eerste gelijkheid geldt omdat \( \log x \) een strikt stijgende functie; de tweede omdat \( X,Y \) onafhankelijk, zoals gegeven. Ik zou niet direct iets beters weten.