Reeksontwikkeling.

[Tibs]

In het tweede deel van mijn herexamen moet ik dus ook reeksontwikkelingen kunnen oplossen. Nu is een van de mogelijke examenvragen het volgende:

\(x = 2 . \cos(t)\)

\(y = 3 . \sin(t)\)

\(S = 4 . \int \sqrt {x'² + y'²} dt\)

tussen pi / 2 en 0

\(x'² = 4 . \sin²(t)\)

\(y'² = 9 . \cos²(t)\)

De integraal wordt dan het volgende dacht ik:

\(8 . \int \sqrt { 1 + \frac {5} {4} \cos²(t) } dt\)

opnieuw tussen pi / 2 en 0

Dan vinden we een gelijkaardige reeks onder de vorm

\( \sqrt { 1 + x } \)

Hierdoor wordt onze reeksonwikkelling nu: ( stellen we x = 5/4 . cos²(t) )

\(4\pi + \frac {5} {4} \pi + \frac {15} {48} \pi + ...\)

Hopelijk is dit juist, indien niet graag wat uitleg?

Dank bij voorbaat.

[TD]

De integraal ziet er goed uit, maar je gaat hier wat snel:

Dan vinden we een gelijkaardige reeks onder de vorm  

\( \sqrt { 1 + x } \)

Hierdoor wordt onze reeksonwikkelling nu: ( stellen we x = 5/4 . cos²(t) )

\(4\pi + \frac {5} {4} \pi + \frac {15} {48} \pi + ...\)

Verder: wat is precies de opgave? Moet je iets uitrekenen of gewoon een uitdrukking met een reeks uitkomen?

[Tibs]

Gewoon die reeksontwikkeling bepalen die ik gevonden heb. Kweet enkel niet goed of de coefficienten juist zijn.

[TD]

Taylor-ontwikkeling rond x = 0:

\(\sqrt {1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{{x^2 }}{8} + \frac{{x^3 }}{{16}} - \frac{{5x^4 }}{{128}} + \frac{{7x^5 }}{{256}} - \cdots \)

[Tibs]

Ja die had ik ook, normaal moet het kloppen hoor. Buiten die ene - die ik vergeten ben bij 15 / 48.

[TD]

Ik heb het verder niet uitgerekend, maar met die reeks moet het kloppen.

Heb je de antwoorden niet om te kunnen vergelijken?

[Tibs]

Nee, we hebben een reeksontwikkeling uitgewerkt met a en b in plaats van getallen. Nuja in principe kan ik het daar ook controleren. Toch bedankt