VWO-poster 2007

[Bograb]

Op de poster van de Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007 staat volgende opgave:

Vier tandwielen, met respectievelijk vijf, zeven, elf en dertien tanden, grijpen op elkaar in zoals voorgesteld op de affiche van de Vlaamse Wiskunde Olympiade en de figuur hiernaast. De vaste pijlen wijzen telkens naar het getal op

de bovenste tand, in de beginstand dus 2 0 0 6.

Je kan aan elk van de tandwielen draaien, om zo een ander getal in de bovenste positie te zetten. Uiteraard zullen de andere tandwielen dan meedraaien en ook een ander getal aanwijzen.

De vraag is nu of we de huidige aanduiding 2 0 0 6 op de een of andere manier kunnen veranderen in 2 0 0 7.

De "afbeelding hiernaast, is te vinden op volgende pagina: http://www.vwo.be/vwo/posters/poster-2006-...undige-wieltjes

Ik had aan volgende oplossing gedacht: Wanneer het eerste tandwiel volledig is rondgedraaid (5 tanden), is het tweede tandwiel 5/7, het derde tandwiel 7/11 en het vierde tandwiel 11/13 rondgedraaid. Als we vervolgens 5*(5/7)*(7/11)*(11/13) doen, krijgen we 1,9 = 2 (afgerond). Is dit een juiste oplossing of niet? Zo nee, wat is de juiste oplossing?

[TD]

Om de eerste drie op hetzelfde cijfer te houden moet je een veelvoud van hun kgv ronddraaien, zijnde kgv(3,5,11) = 385.

Hiervan wil je een veelvoud 385k draaien, zodanig dat het laatste wiel een aantal veelvouden van 13 ronddraait, en dan nog 1 (of 12, afhankelijk van de draairichting). Met andere woorden, de rest bij deling door 13 van 385k moet 1 (of 12) zijn. Dit is bijvoorbeeld het geval voor k = 8, dan is 385k = 3080 en dat geeft een rest van 12 bij deling door 13.