lineaire algebra opgaven

[iris]

Ik heb een aantal opgaven waar ik niet uitkom, ze zijn volgens mij niet lastig:

24. Laat zien dat als A een inverteerbare nxn- matrix is, dat A^T (getransponeerde matrix van A) ook inverteerbaar is. Beschrijf daarna (A^T)^-1 in termen van A^-1.

25 a. Als A inverteerbaar, is A+A^T dan ook altijd inverteerbaar (waarom?)

b. Als A inverteerbaar is, is A+A dan ook altijd inverteerbaar (waarom?)

27. Als A en B allebei nxn-matrices zijn en A is inverteerbaar. laat zien dat:

a. AX=B de unieke oplossing X=A^-1 *B heeft.

b. X=A^-1 *B gevonden kan worden door de volgende rij-operaties:

[A | B] ~ [I|X]

Dat is als matrix A is gereduceerd naar de identiteitsmatrix I, dat de matrix B gereduceerd zal zijn tot de matrix A^-1 *B.

-------------------------------------------------------------------------------------------

In de volgende opdrachten moet je beslissen of een verzameling een vector ruimte is:

1. de verzameling R² (R=reële getallen), met normale vector optelling maar met scalarvermenigvuldiging: r[x,y]=[ry,rx]

2. de verzameling van 2x2-matrices, met normale scalarvermenigvuldiging maar met optelling: A+B=O met O=de nul matrix.

8. De verzameling F van alle functies R->R (R is de reële getallen) met scalarvermenigvuldiging: (rf)(x)=rf(x) en optelling: (f+g)(x)=2f(x)+2g(x).

In de volgende opdrachten moet je bepalen of de gegeven verzameling is gesloten voor de normale vectoroptelling en scalar vermenigvuldiging en of het een echte vectorruimte is:

9. De verzamling van alle 'upper-triangular' nxn- matrices

11. De verzameling van alle diagonale nxn matrices.

Ik hoop dat iemand met hierbij kan helpen. En met name bij de laatste 5 opdrachten misschien kan uitleggen hoe ik het moet aanpakken om te laten zien dat een gegeven verzameling al dan niet een vectorruimte (vector space) is.

[Safe]

Ik heb een aantal opgaven waar ik niet uitkom, ze zijn volgens mij niet lastig:

24. Laat zien dat als A een inverteerbare nxn-  matrix is, dat A^T (getransponeerde matrix van A) ook inverteerbaar is. Beschrijf daarna (A^T)^-1 in termen van A^-1.

Als vb, ga uit van

\((A \cdot A^{-1})^T=(A^{-1} \cdot A)^T=I^T=I\)

met

\((A \cdot B)^T=B^T \cdot A^T\)

Wat volgt dan?

[iris]

kan iemand me nog verder helpen met de andere opgaven? Ik ben echt hopeloos opzoek naar de antwoorden..

[nitrobeem]

25 a.: tegenvoorbeeld:

\(A=\left[\begin{array}{cc}0&1-1&0\end{array}\right] \)

b.:

\(A+A=2A \)

;

\(\det(2A)=2^n\det(A)\)

, dus als

\(A \)

inverteerbaar was,

\(A+A \)

ook.

27. a.

\(X=A^{-1} \)

voldoet zeker. Stel nu dat er een andere oplossing

\(X'$ \)

bestaat, dan moet

\(AX'=B=AX\)

, maar

\(A \)

is inverteerbaar, waardoor $X'=X$.

b. Vermenigvuldig

\( [A | B]\)

links met

\(A^{-1}\)

.

opgaven 1-2-8 is steeds hetzelfde: definitie toepassen, echt niet zo moeilijk. Ik doe het voor 2: Vormt

\(\mathbb{K}^{2\times 2}\)

een groep t.o.v. die optelling? Hiervoor moet associativiteit gelden

\((A+B)+C=A+(B+C)\)

. Beide leden geeft

\(O\)

. Abels is hij ook, maar bij het neutraal element loopt het mis: er bestaat geen

\(X\)

zodat

\(A+X=A\)

. Dit is dus geen groep, dus is de verzameling geen vectorruimte.

Oja, definitie voor vectorruimte: Een niet-ledige verzameling

\(V\)

voorzien van de optelling en scalaire vermenigvuldiging is een vectorruimte als

\(V_+\)

een abelse groep is, er distributiviteit t.o.v. de som van scalairen is (

\((\lambda+\mu)v=\lambda v+\mu v\)

) en er distributiviteit t.o.v. de som van vectoren is (

\(\lambda(v+w)=\lambda v +\lambda w\)

).

[Pongping]

Oja, definitie voor vectorruimte: Een niet-ledige verzameling

\(V\)

voorzien van de optelling en scalaire vermenigvuldiging is een vectorruimte als

\(V_+\)

een abelse groep is, er distributiviteit t.o.v. de som van scalairen is (

\((\lambda+\mu)v=\lambda v+\mu v\)

) en er distributiviteit t.o.v. de som van vectoren is (

\(\lambda(v+w)=\lambda v +\lambda w\)

).

Oftewel, zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Vectorruimte.

Dus als je wilt weten of een verzameling een vectorruimte is, check je al de 10 axioma's na en als ze kloppen, is het een vectorruimte. Als een ervan niet klopt, is het geen vectorruimte

Ik neem als voorbeeld opgave 1.

Er staat dus als je twee vectoren uit R² neemt, bv (a, b) en (c, d), dan is:

1) de optelling gedefinieerd als

\((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\)

2) de scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd als

\(\lambda(a,b)=(\lambda b,\lambda a)\)

met

\(\lambda\)

in

\(\Re\)

Je kan zien dat er geen problemen zijn met de optelling. De scalaire vermenigvuldiging is wel een probleem. Als je goed naar de axioma's kijkt, zie je dat er eentje een probleem zou kunnen opleveren. Neem bv axioma 7. Die zegt

De scalaire vermenigvuldiging is assosiatief.

\(a(bv)=(ab)v\)

met a,b in

\(\Re\)

en v een element van je vectorruimte

Als je de linkerkant invult met bv (a,b) krijg je:

\((\lambda\mu a, \lambda\mu b)\)

Als je de rechterkant invult met (a,b) krijg je:

\((\lambda\mu b, \lambda\mu a)\)

Deze twee zijn verschillend dus het axioma klopt niet dus de verzameling is geen vectorruimte.

[Safe]

kan iemand me nog verder helpen met de andere opgaven? Ik ben echt hopeloos opzoek naar de antwoorden..  

Het is toch verstandig om je vragen nauwkeurig te formuleren.

Het is te vaag als je zegt een bepaalde opgave niet te kunnen aanpakken.

[iris]

In de volgende opdrachten moet je bepalen of de gegeven verzameling is gesloten voor de normale vectoroptelling en scalar vermenigvuldiging en of het een echte vectorruimte is.

Hiermee bedoel ik dus, hoe zou ik moeten bepalen of een verzameling daaraan voldoet? Wat voor eisen stelt men daaraan en hoe kan ik die controleren? In het boek heb ik moeite met dat soort opgaven dus ik dacht misschie ndat jullie daar een trucje/methode voor weten

[Pongping]

In de volgende opdrachten moet je bepalen of de gegeven verzameling is gesloten voor de normale vectoroptelling en scalar vermenigvuldiging en of het een echte vectorruimte is.

Hiermee bedoel ik dus, hoe zou ik moeten bepalen of een verzameling daaraan voldoet? Wat voor eisen stelt men daaraan en hoe kan ik die controleren? In het boek heb ik moeite met dat soort opgaven dus ik dacht misschie ndat jullie daar een trucje/methode voor weten

http://nl.wikipedia.org/wiki/Vectorruimte.