differentieerbaarheid en inverteerbaarheid.

[iris]

De volgende opdracht kom ik niet uit:

Geef een zo groot mogelijk domein waarop het functievoorschrift:

f(x) = tan(arctan(x)/7) een functie definieerd.

Op welk deel van dit domein is de functie differentieerbaar en wat is daar de afgeleide functie?

Wat ik bijvoorbeeld niet snap is, wat bedoelen ze met 'een functie definieerd', wat wordt er hier gevraagd? En wanneer is een functie differentieerbaar? (als hij continu is?, maar hoe kom je erachter wanneer deze functie continu is?)

Zo zijn er nog meer opgave die ik dus niet begrijp zoals:

Geef een zo groot mogelijke niet-lege verzameling U als deelverzameling van de reële getallen, waarop sin(x)cos(x) inverteerbaar is.

Hoe bepaal je wanneer een functie inverteerbaar is?

[Safe]

De volgende opdracht kom ik niet uit:

Geef een zo groot mogelijk domein waarop het functievoorschrift:

f(x) = tan(arctan(x)/7) een functie definieerd.

Op welk deel van dit domein is de functie differentieerbaar en wat is daar de afgeleide functie?

Wat ik bijvoorbeeld niet snap is, wat bedoelen ze met 'een functie definieerd', wat wordt er hier gevraagd? En wanneer is een functie differentieerbaar? (als hij continu is?, maar hoe kom je erachter wanneer deze functie continu is?)

Zo zijn er nog meer opgave die ik dus niet begrijp zoals:

Geef een zo groot mogelijke niet-lege verzameling U als deelverzameling van de reële getallen, waarop sin(x)cos(x) inverteerbaar is.  

Hoe bepaal je wanneer een functie inverteerbaar is?

Een functie is inverteerbaar als de functie op zijn domein eenduidig is, ook wel 1-1-afbeelding genoemd.

Vb: zo is de lineaire functie inverteerbaar.

Vb: e^x is inverteerbaar.

Vb: de sin, cos en tan zijn periodiek en dus niet-inverteerbaar

Willen we nu toch een inverse functie definiëren, dan beperken we het domein. Neem bv de tan, als we als domein <-Pi/2,Pi/2> kiezen is de tan inverteerbaar en zo definiëren we als inverse arctan (het bereik van arctan is dan natuurlijk <-Pi/2,Pi/2>).

Ga zelf na wat er gebeurt bij het definiëren van sin en cos!

[iris]

ok dus als ik het goed begrijp kan je dus zeggen dat sin(x)*cos(x) inverteerbaar is op het domein 0 tot pi?

Maar wat betekend nu die eerste vraag? wanneer een functie differentieerbaar is en wanneer een functie gedefinieerd is?

[EvilBro]

ok dus als ik het goed begrijp kan je dus zeggen dat sin(x)*cos(x) inverteerbaar is op het domein 0 tot pi?

Nee, dat is niet zo. Zie het zo: een functie f(x) is inverteerbaar als jij mij met 100% zekerheid kan vertellen welke x ik had als ik je de waarde van f(x) vertel voor die x (ofwel er is maar 1 x bij elke waarde die f(x) kan aannemen).

Voor

\(f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)\)

is dat niet zo. Als ik bijvoorbeeld zeg dat de waarde van f(x) gelijk is aan 0 dan weet jij niet welke x ik had (0, \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), enz.).

Maar wat betekend nu die eerste vraag? wanneer een functie differentieerbaar is en wanneer een functie gedefinieerd is?

Een functie is gedefinieerd voor een bepaalde x als hij een uitkomst in het bereik geeft voor die waarde van x. Een functie is differentieerbaar als de volgende limiet bestaat:

\(\lim_{x \rightarrow a} = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

[Phys]

Een functie is slechts dan inverteerbaar als deze bijectief (zowel injectief als surjectief) is.

Een functie is gedefinieerd op zijn domein (beetje flauw natuurlijk, maar voor het bepalen van het domein zijn er niet echt regels, dat zie je vaak heel snel). Voor alle

\(x\in dom(f)\)

bestaat er een functiewaarde.

Een functie is inderdaad differentieerbaar als de limiet die EvilBro geeft bestaat, maar in jouw voorbeeld lukt dat niet zo makkelijk. Volgens mij is het het makkelijkst om eerst de afgeleide te bepalen met behulp van de ketting- en productregel:

\(\frac{\left(\frac{1}{(7+7x^2)}\right)}{\cos^2{\left(\frac{\arctan(x)}{7}\right)}}\)

.

Je ziet nu een breuk, deze is niet gedefinieerd voor x-waarden die een noemer gelijk aan nul opleveren.

\(\cos^2(y)\)

levert nul op voor y-waarden

\(\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi \)

enz. Je ziet al gauw dat dat hier nooit lukt, dus is zowel de functie als zijn afgeleide gedefinieerd op de hele R.

[Safe]

ok dus als ik het goed begrijp kan je dus zeggen dat sin(x)*cos(x) inverteerbaar is op het domein 0 tot pi?

Maar wat betekend nu die eerste vraag? wanneer een functie differentieerbaar is en wanneer een functie gedefinieerd is?

Is er iets niet duidelijk in mijn post?

Waarom denk je dat sin(x)*cos(x) inverteerbaar is op <0,Pi>?

sin(x)*cos(x)=1/2sin(2x)

Teken de grafiek en kijk naar eenduidigheid, dus bij elke x uit het domein hoort precies één x uit het bereik!