Formule maken

[Morzon]

\(\left( \begin{array}{c} -4 n \end{array} \right)=(-4)(-5)....(-4-n+1)/n!=(-1)^n 4*5...(n+3)/n!\)

\(n_0=1\)

\(n_1=-4\)

\(n_2=10\)

\(n_3=-20\)

\(n_1-n_0=3, n_2-n_1=6, n_3-n_2=10\)

als ik de verschil van de verschil van deze "rij" bereken kom ik uit op 1. Dus met een derdegraadspolynoom zou ik een formule moeten kunnen maken. Dat heb ik gedaan en ik krijg:

\(f(n)=1/6n^3+n^2+11/6*n+1=(n+1)(n+2)(n+3)/6\)

nu is dit wel een beetje veel werk, dus mijn vraag was of dit ook veel makkelijker kan?

\(\left( \begin{array}{c} -4 n \end{array} \right)=(-1)^n(n+1)(n+2)(n+3)/6\)

[PeterPan]

Sorry, ik snap hier niets van.

Uit

\(n_0=1\)

\(n_1=-4\)

\(n_2=10\)

\(n_3=-20\)

volgt

\(n_1-n_0=-5, n_2-n_1=14, n_3-n_2=-30\)

[Mattia]

\(n_0=1\)

\(n_1=-4\)

\(n_2=10\)

\(n_3=-20\)

\(n_1-n_0=3, n_2-n_1=6, n_3-n_2=10\)

Is het niet

\(n_1-n_0=-5, n_2-n_1=14, n_3-n_2=-30\)

?

[Morzon]

Sorry, ik snap hier niets van.

Uit  

\(n_0=1\)

\(n_1=-4\)

\(n_2=10\)

\(n_3=-20\)

volgt

\(n_1-n_0=-5, n_2-n_1=14, n_3-n_2=-30\)

sorry, ik ben niet duidelijk geweest.

\(\left( \begin{array}{c} -4 n \end{array} \right)=(-4)(-5)....(-4-n+1)/n!=(-1)^n 4*5...(n+3)/n!\)

ik zoek eerst een formule voor

\(4*5.....(n+3)/n!\)

en

\(n_1-n_0=3, n_2-n_1=6, n_3-n_2=10\)

hoort dus hierbij. als ik hiervoor een formule heb kan ik het met(-1)^n vermenigvuldigen.

duidelijk(er)?

[Morzon]

\((1+x)^-^5=\sum_{n=0}^\infty \left( \begin{array}{c} -5 n \end{array} \right)x^n\)

\(\left( \begin{array}{c} -5 n \end{array} \right)= \frac{(-5)(-6)(-7)....(-5-n+1)}{n!} \)

\(=(-1)^n* \frac{5*6*7*(n+4)}{n!}\)

[1]

\(=(-1)^n* \frac{2*3*4*5*6*7*(n+1)(n+2)(n+3)(4+n)}{2*3*4n!}\)

[2]

\(=(-1)^n* \frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{24}\)

Dit staat dus in mijn antwoordenboek(waar dus helemaal geen vergelijking wordt opgelost om tot een formule te komen)

nu ik -4 boven n en -5 boven n heb gezien kan ik zo zelf ook een formule opstellen voor -k boven n zonder een formule op te stellen van (k-1)de graadspolynoom, maar ik snap er niks van.

van [1] naar [2] snap ik niet.

ik snap wel waarom teller en noemer met 2*3*4 wordt vermeniguldigd maar waarom daar (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) komt snap ik niet. Ik weet dat (n+4) het laatste getal is waarmee wordt vermenigvuldigd en (n+3) op een na laatste enz.

[Morzon]

niet duidelijk wat ik bedoel? [rr]