Bewijs lineaire algebra

[Pongping]

Hallo,

Dit is misschien een eenvoudig bewijs, maar er kom er maar niet uit:

Zij V een n-dimensionale vectorruimte. Dan zijn n voortbrengende vectoren voor V een basis voor V.

Je moet dus eigenlijk bewijzen dat ze dan ook lineair onafhankelijk zijn en dat lukt me niet zo goed. Kan iemand anders het wel?[/i]

[einstone]

misschien stellen dat ze lineair afhankelijk zijn, en dan tot een tegenspraak komen, want dan zouden bv n - 1 vectoren ook voortbrengend zijn.

[Rov]

Stel dat de n vectoren niet lineair onafhankelijk zijn (lineair afhankelijk dus), dan zou de basis bestaan uit n - x vectoren bestaan terwijl een n-dimensionale vectorruimte altijd een basis heeft van n vectoren. Tegenspraak.

(bewijs onder voorbehoud )

Edit: damn, te laat.

[Pongping]

En hou bewijs je dat n-1 vectoren nooit voortbrengen zijn?

[TD]

Wat is je definitie van "dimensie". Mogelijk: het aantal basisvectoren (of iets equivalent hiermee, voor eindige dimensies).

[Pongping]

Ja de dimensie is gelijk aan het aantal basisvectoren.

[TD]

Wel, er was gegeven dat de dimensie n was, dus een basis (minimaal voortbrengend stel) bevat n vectoren.

Met n-1 vectoren kun je dus onmogelijk voortbrengend zijn, want dan zou je een basis van n-1 vectoren hebben.

[Pongping]

Ja ik begrijp wat je bedoelt maar met dit soort oefeningen moet je altijd oppassen dat je niet te veel dingen gewoon "anneemt", omdat het zo evident is. Daar heb ik vaak moeite mee.

[TD]

Het is natuurlijk zo dat al die stellingen op elkaar verder gaan, het is dus de vraag wat je al 'weet' op dit punt, i.e. wat je mag gebruiken.