1 van 2
potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 12:15
door Klaas-Jan
Stel ik heb een vectorveld:
(x^2+y^2) i + (xyz^2) j + (x^2yz) k
Hoe bepaal je dan de potentiaal of toon je aan dat het veld geen potentiaal heeft?
Ik weet hoe je divergentie en rotatie moet bepalen...
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 17:59
door nitrobeem
Divergentie:
\(\nabla \cdot textbb{F}=\frac{\partial textbb{F}}{\partial x}+\frac{\partial textbb{F}}{\partial y}+\frac{\partial textbb{F}}{\partial z}\)
Rotatie:
\(\nabla \times textbb{F} =\left[\frac{\partial textbb{F}}{\partial x},\frac{\partial textbb{F}}{\partial y},\frac{\partial textbb{F}}{\partial z}\right]\)
Als
\(textbb{F}\)
conservatief is, dan is
\(\nabla \times textbb{F}=0\)
. De stelling geldt omgekeerd ook als het gebied waarover je
\(textbb{F}\)
bekijkt open, samenhangend en enkelvoudig is.
Stel dat je vectorveld conservatief is, dan moet er een
\(V\)
bestaan zodat
\(textbb{F}=-\nabla V\)
. Dit wil zeggen dat
\(\frac{\partial V}{\partial x}=F_x\)
,
\(\frac{\partial V}{\partial y}=F_y\)
en
\(\frac{\partial V}{\partial z}=F_z\)
.
\(V\)
Bepaal je als volgt:
\(V=\int F_x dx + g(y,z)\)
, waarin
\(g(y,z)\)
een arbitraire functie is van y en z. Die moeten ook voldoen aan de andere 2 vergelijkingen, dus leid je die uitdrukking af naar y, stel je hem gelijk aan
\(F_y\)
en haal je daaruit
\(g(y,z)\)
. In die uitdrukking voor
\(g(y,z)\)
staat nog een arbitraire functie
\(h(z)\)
, die je elimineert door de derde vergelijking te gebuiken.
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 18:38
door kotje
Om aan dit vectorveld een potentiaal V te kunnen koppelen moet de rot van dit vectorveld 0 zijn, wat hier niet, naar mijn berekening het geval is: (x²z-2xyz)i-(2xyz)j+(2xyz)k.
Indien dit wel het geval is kunt ge de bijbehorende potentiaal V berekenen zoals nitrobeem aangeeft met dit verschil dat ge voor
\(F_x , F_y en F_z \)
een minteken zet.
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 19:50
door TD
Om aan dit vectorveld een potentiaal V te kunnen koppelen moet de rot van dit vectorveld 0 zijn, wat hier niet, naar mijn berekening het geval is: (x²z-2xyz)i-(2xyz)j+(2xyz)k.
Wat heb je hier berekend?
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 19:52
door kotje
De rot van gegeven vectorveld.
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 19:54
door nitrobeem
Hmmm, ik heb even mistypt
(en nog geen beetje..)
\(\nabla\times F = \left[\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right]\)
mijn excuses...
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 19:56
door TD
De rot van gegeven vectorveld.
Ik vind voor de laatste component yz²-2y.
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 19:59
door nitrobeem
Heb ik ook als laatste component.
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 20:01
door kotje
Pardon even een fout.Ge hebt gelijk.
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 20:05
door TD
Oké, maar belangrijker voor Klaas-Jan: die is dus niet identiek gelijk aan de nulvector.
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 22:17
door Klaas-Jan
Oke, ik begrijp het een klein beetje, maar als je een vectorveld gegeven krijgt.
Bijvoorbeeld: (x^2+y^2) i + (xyz^2) j + (x^2yz) k
Hoe bepaal je dan de potentiaal of hoe bepaal je dat het veld geen potentiaal heeft. Ik wil beide graag weten, omdat ik niet weet of dit vectorveld een potentiaal heeft... Graag een concreet antwoord, want volgens mij ben ik een beetje in de war geraakt door wat in eerdere berichten staat... Hartelijk dank alvast!!
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 22:23
door TD
Voor zover alles "braaf" is (wellicht het geval) geldt dat een vectorveld F conservatief is, als rot® = 0 of, equivalent hiermee, er een scalaire potentiaal V bestaat zodat F = -grad(V). Je kan dus nagaan of je veld conservatief is met behulp van de rotatie; is die 0, dan bestaat er scalaire potentiaal V waar F van afgeleid kan worden (en omgekeerd).
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 22:30
door Klaas-Jan
Oke, dus ik bereken eerst de rot... Is die 0, dan kan ik concluderen dat er een potentiaal is... Maar hoe kan ik nu die potentiaal berekenenen. Dat is me nog een beetje onduidelijk...
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 22:36
door Klaas-Jan
Hoe haal ik de V uit de gradient? Dat is het punt... Want een gradient is toch een vector? Niet een som ofzo...
Re: potentiaal vectorveld
Geplaatst: za 27 jan 2007, 22:37
door TD
Dat beschreef nitrobeem al eerder:
\(V\)
Bepaal je als volgt:
\(V=\int F_x dx + g(y,z)\)
, waarin
\(g(y,z)\)
een arbitraire functie is van y en z. Die moeten ook voldoen aan de andere 2 vergelijkingen, dus leid je die uitdrukking af naar y, stel je hem gelijk aan
\(F_y\)
en haal je daaruit
\(g(y,z)\)
. In die uitdrukking voor
\(g(y,z)\)
staat nog een arbitraire functie
\(h(z)\)
, die je elimineert door de derde vergelijking te gebuiken.
Het geen aadkr
hier toepaste (doch op een niet-conservatief vectorveld). Lukt het daarmee?