Vind alle continu afleidbare functies
\(f\)
die voldoen aan
\(f(f(x))=k^2x\)
voor een
\(k\)
in
\(R\)
.
Algemener geldt:
De enige functies \(f\)
die voldoen aan
\(f(f(x))=k^2x\)
voor een
\(k\)
in
\(R\)
zijn
\(f(x) = kx\)
en
\(f(x)=-kx\)
indien
\(k\neq0\)
en
\(k^2\neq1\)
[/b]
Ik doe hier summier een deel van het bewijs.
We mogen aannemen dat
\(k>0\)
.
Veronderstel
\(k>1\)
.
\(f\)
is monotoon. Veronderstel
\(f\)
is stijgend.
Veronderstel dat
\(f(x) \neq kx\)
voor een zekere x.
(N.B. In het alternatieve geval dat we
\(f\)
dalend veronderstellen, stellen we
\(f(x)\neq -kx\)
voor zekere x).
Stel
\(f(x) > kx\)
, dan is
\(k^2x = f(f(x))>f(kx)=k^2f(\frac{x}{k})\)
Dus
\(f(x) > kx \Leftrightarrow f(\frac{x}{k})<x\)
Analoog:
\(f(x) < kx \Leftrightarrow f(\frac{x}{k})>x\)
We zien dus dat
\(f(x) < kx \Leftrightarrow f(kx) > k^2x \Leftrightarrow f(k^2x)<k^3x \cdots\)
\(f\)
is monotoon, dus lokaal Riemann-integreerbaar.
\(\int_0^x f(t)\ dt = \frac{1}{k^{2n}}\int_0^x f(k^{2n}t)\ dt = \frac{x^2}{(k^{2n}x)^2}\int_{0}^{k^{2n}x} f(t)\ dt\)
Nu bestaat dus
\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(k^{2n}x)^2}\int_{0}^{k^{2n}x} f(t)\ dt\)
en zijn limiet is onafhankelijk van x, hetgeen met voorgaande alternerende ongelijkhedenreeks aangetoond kan worden.
Noem de limiet c, dan is
\(\int_0^x f(t)\ dt = cx^2\)
Differentieren levert het gewenste resultaat.
bijectief.