Vind F

[nitrobeem]

Vind alle continu afleidbare functies

\(f\)

die voldoen aan

\(f(f(x))=k^2x\)

voor een

\(k\)

in

\(R\)

.

[PeterPan]

Wat bedoel je met continu afleidbaar? Differentieerbaar met continue afgeleide?

Mag k=0 of k=1 zijn?

Even wat feitjes

Stel

\(k\neq0\)

en

\(k^2\neq 1\)

.

Het is duidelijk dat f injectief is, want als

\(f(x)=f(y)\)

dan is

\(f(f(x))=f(f(y))\)

en dan is

\(k^2x=k^2y\)

en dus

\(x=y\)

Continu + injectief bijectief.

\(f(0)=0\)

, want

\(f(0) = f(k^20) = f(f(f(0))) = k^2f(0)\)

\(f\)

snijdt de lijn y=x alleen in de oorsprong, want als

\(f(x)=x\)

, dan is

\(x = f(x) = f(f(x)) = k^2x\)

en dus is x=0.

[nitrobeem]

Ik snap uw stap van continu + injectief -> bijectief niet (tegenvoorbeeld arctan(x)).

Continu afleidbaar is inderdaad differentieerbaar met continue afgeleide. Er voldoen exact 2 functies (in het niet ontaarde geval).

[PeterPan]

\(k^2f(x) = fof(f(x)) = f(fof(x)) = f(k^2x)\)

Dus

\(f(x) = k^2f(\frac{x}{k^2}) = k^4f(\frac{x}{k^4})\cdots = k^{2n}f(\frac{x}{k^{2n}})\)

voor elke n en x.

Limiet nemen voor N naar oneindig geeft

\(f(x) = xf'(0)\)

en dat voor elke x.

Daar

\(f(f(x)) = k^2x\)

is

\(f'(0)=\pm k\)

Dus

\(f(x)=kx\)

of

\(f(x)=-kx\)

continu + injectief van X naar Y -> bijectief met inverse van Y naar X (X en Y samenhangend).

continu + injectief van X naar Y -> bijectief met inverse van Y naar X (X en Y samenhangend).

[nitrobeem]

Klopt. Methode die ik gebruikt heb:

steunend op

\(f'(f(x))f'(x)=k^2\)

en

\(f'(x)=\frac{1}{f'(k^2x)}k^2\)

(afgeleide van inverse functie, wegens injectieviteit) krijgen we dat:

\(f'(f(x))=f'(k^2x)\)

wat door surjectiviteit

\(f'(x)=f'(f(x))\)

wordt,

waardoor

\(f'(x)^2=k^2\)

.

Hieruit volgt het antwoord.

[PeterPan]

Ik kan je redenering niet helemaal volgen.

Uit

\(f'(f(x))\cdot f'(x) = k^2\)

volgt door substitutie van f(x) voor x

\(f'(k^2x)\cdot f'(f(x)) = k^2\)

waaruit volgt dat

\(f'(k^2x) = f'(x)\)

voor alle x.

Door integreren volgt dan (f(0)=0 !):

\(\frac{f(k^2x)}{k^2} = f(x)\)

Even afgezien daarvan.

Uit mijn afleiding volgt dat het voldoende is te eisen dat f differentieerbaar is in 0.

Waarschijnlijk is het voldoende te eisen dat f continu is in 0.

[nitrobeem]

Ik veronderstel dat je de stelling over de afgeleide van de inverse functie kent?

Door die 2 uitdrukkingen aan elkaar gelijk te stellen (

\(k^2\)

elimineren) krijg je dat

\( f'(f(x))=f'(k^2x)=f'(f(f(x)))\)

Wegens surjectiviteit bestaat er voor elke

\(y\)

een

\(x\)

waarvoor geldt dat

\(f(x)=y\)

, waardoor

\(f'(y)=f'(f(y))\)

. Dit voeg je in

\(f'(f(x))f'(x)=k^2\)

waaruit het gevraagde volgt.

[PeterPan]

Ik veronderstel dat je de stelling over de afgeleide van de inverse functie kent?

Nee, hoe luidt die dan?

[nitrobeem]

\(\frac{d}{dx}f^{-1}(x)=\frac{1}{\frac{df}{dx}}\)

[nitrobeem]

Ahum, blijkt dat ik de stelling niet volledig onder de knie heb. De volledig juiste versie van deze stelling luidt:

\((f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\)

, wat overeenkomt met

\(f'(f(x))\cdot f'(x) = k^2\)

. Mijn oplossing klopt dus niet.

[PeterPan]

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

[PeterPan]

Vind alle continu afleidbare functies

\(f\)

die voldoen aan

\(f(f(x))=k^2x\)

voor een

\(k\)

in

\(R\)

.

Algemener geldt:

De enige functies

\(f\)

die voldoen aan

\(f(f(x))=k^2x\)

voor een

\(k\)

in

\(R\)

zijn

\(f(x) = kx\)

en

\(f(x)=-kx\)

indien

\(k\neq0\)

en

\(k^2\neq1\)

[/b]

Ik doe hier summier een deel van het bewijs.

We mogen aannemen dat

\(k>0\)

.

Veronderstel

\(k>1\)

.

\(f\)

is monotoon. Veronderstel

\(f\)

is stijgend.

Veronderstel dat

\(f(x) \neq kx\)

voor een zekere x.

(N.B. In het alternatieve geval dat we

\(f\)

dalend veronderstellen, stellen we

\(f(x)\neq -kx\)

voor zekere x).

Stel

\(f(x) > kx\)

, dan is

\(k^2x = f(f(x))>f(kx)=k^2f(\frac{x}{k})\)

Dus

\(f(x) > kx \Leftrightarrow f(\frac{x}{k})<x\)

Analoog:

\(f(x) < kx \Leftrightarrow f(\frac{x}{k})>x\)

We zien dus dat

\(f(x) < kx \Leftrightarrow f(kx) > k^2x \Leftrightarrow f(k^2x)<k^3x \cdots\)

\(f\)

is monotoon, dus lokaal Riemann-integreerbaar.

\(\int_0^x f(t)\ dt = \frac{1}{k^{2n}}\int_0^x f(k^{2n}t)\ dt = \frac{x^2}{(k^{2n}x)^2}\int_{0}^{k^{2n}x} f(t)\ dt\)

Nu bestaat dus

\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(k^{2n}x)^2}\int_{0}^{k^{2n}x} f(t)\ dt\)

en zijn limiet is onafhankelijk van x, hetgeen met voorgaande alternerende ongelijkhedenreeks aangetoond kan worden.

Noem de limiet c, dan is

\(\int_0^x f(t)\ dt = cx^2\)

Differentieren levert het gewenste resultaat.