[wiskunde] Loodrechte Stand

[loxerium]

Ik kan de oplossing van deze oefening maar niet vinden.

Kan iemand me helpen?

Geef t.o.v. een georthonormeerde basis het stelsel vergelijkingen van de loodlijn door A op e en die e snijdt:

A(5,6,9)

e: x - 1 = (y - 2)/3 = 2z

m.v.g.

[TD]

Bepaal een vlak α dat het punt A en de rechte e bevat.

Bepaal een vlak β, loodrecht op e, dat het punt A bevat.

De gezochte rechte heb je nu als snijlijn van α en β.

Verplaatst naar huiswerk.

[aadkr]

Wat stelt e voor?

a) een plat vlak?

b) 1 rechte

c) 2 verschillende rechten?

ik heb geen flauw idee.

[Rov]

Meestal gebruikt men voor punten hoofdletters, voor rechten kleine letters en voor vlakken Griekske letters.

[TD]

Wat stelt e voor?

Het punt werd gegeven als drietal, we werken dus in R³.

Een rechte wordt dan voorgesteld als snijlijn van twee vlakken, bijvoorbeeld in de vorm:

\(\frac{{x - x_0 }}{a} = \frac{{y - y_0 }}{b} = \frac{{z - z_0 }}{c}\)

Dan is \(\left( {x_0 ,y_0 ,z_0 } \right)\) een punt van de rechte en (a,b,c) een stel richtingsgetallen.

[aadkr]

Kies 2 punten die op de rechte l liggen.

B=(1,2,0) en C=(5,14,2)

Hieruit volgt ,dat de vectorvoorstelling van de rechte gelijk is aan:

\((x,y,z)=(1,2,0)+\lambda (2,6,1)\)

Laten we een willekeurig punt op de rechte X noemen.

Dan moet de afstand XA minimaal zijn. Dus ook ( XA) kwadraat moet minimaal zijn.

\((XA)^2={((1+2\lambda)-5)}^2+{((2+6\lambda)-6)}^2+{(\lambda -9)}^2 =minimaal\)

\(41{\lambda}^2 -82 \lambda +113=minimaal\)

\(\lambda=\frac{-b}{2a}=\frac{82}{82}=1\)

Deze waarde van lambda invullen in de vectorvoorstelling van de rechte.

Dit geeft: X=(3,8,1)

Van de rechte die we zoeken hebben we nu 2 punten : X=(3,8,1) en A=(5,6,9)

Een vectorvoorstelling van deze rechte is:

\((x,y,z)=(5,6,9)+\mu (2,-2,8)=(5,6,9)+\mu (1,-1,4)\)

\(x=5+\mu\)

\(y=6-\mu\)

\(z=9+4\mu\)

Hieruit volgt:

x+y=11

4y+z=33

4x-z=11 ( maar deze is overbodig , want hij volgt uit de eerste 2 vergelijkingen.

[TD]

Kies 2 punten die op de rechte l liggen.

B=(1,2,0) en C=(5,14,2)

Hieruit volgt ,dat de vectorvoorstelling van de rechte gelijk is aan:

\((x,y,z)=(1,2,0)+\lambda (2,6,1)\)

Ook een correcte oplosmethode, maar even een suggestie bij het stuk hierboven.

Als de rechte gegeven is onder de vorm zoals in mijn vorige post, is een stel richtingsgetallen direct af te lezen in de noemers; hier is dat (1,3,1/2) of na herschaling ook jouw (2,6,1). Zo hoef je geen tweede punt te zoeken, misschien handig voor de toekomst.

[aadkr]

Inderdaad TD, bedankt voor de tip.