Fisher random schaak

[jhnbk]

fisher random schaak is een variant op het gewone schaak waarbij de stukken (buiten de pionnen) op hun lijn "ad random" zijn geplaatst, met 2 beperkingen:

• de 2 lopers staan op velden met verschillende kleur
• de koning staat altijd tussen de torens

wat is dan de kans dat je een begin opstelling heb met de 2 lopers naast elkaar?

[PeterPan]

Wat die kans is hangt af van de volgorde waarin de schaakstukken op het bord worden gezet. Hoe eerder de lopers op het bord komen, deste eerder zul je twee lopers naast elkaar krijgen.

Als ook at random een schaakstuk wordt gekozen voordat het wederom at random op het bord wordt gezet, dan is die kans niet te beredeneren. Er zit dan niets anders op dan een computer alle mogelijkheden te laten nalopen.

[physicalattraction]

Wat die kans is hangt af van de volgorde waarin de schaakstukken op het bord worden gezet. Hoe eerder de lopers op het bord komen, deste eerder zul je twee lopers naast elkaar krijgen.

Kun je uitleggen hoe je hier aan komt? Ik zie dit namelijk niet direct in.

[jhnbk]

euhm, 'k volg je redenering niet helemaal 'k had het zo

alle mogelijkheden:

in volgorde 2 lopers, dame, 2 paarden, en dan is de rest sowieso in orde

dus

\(\frac{4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2}=960\)

alle mogelijkheden met 2 lopers naast elkaar:

eerst de 2 lopers zetten, en dan de rest

dus

\(\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2}=420\)

dus dan is de kans

\(\frac{7}{16}\)

[PeterPan]

Stel je zet eerst alle pionnen in hun startpositie.

Vervolgens zet je de vier lopers op het bord.

Daarvan zijn er een aantal manieren, zeg X, waarop 2 lopers naast elkaar komen te staan.

Stel nu ik zet eerst een paard op A1 voordat ik de vier lopers op het bord ga zetten.

Een loperpaar A1-B1 is nu niet meer mogelijk, dus het aantal mogelijke paren naast elkaar liggende lopers is afgenomen.

[jhnbk]

ik kan het niet met zekerheid zeggen,

volgens mij komt dat dan op het zelfde neer of nu alle posities gemaakt zijn door eerst de lopers te plaatsen en dan de paarden of omgekeerd

[PeterPan]

Ik denk dat mijn bewering wel juist is, maar dat ik een verkeerd voorbeeld heb gegeven.

Laat de pionnen weg, evenals de velden waar ze op staan. Je houdt een 6x8 bord over.

Als je begint met de lopers op het bord te plaatsen, dan is elke positie van de 4 lopers even waarschijnlijk.

Als ik eerst alle figuren behalve de lopers op het bord zet, dan hebben de overblijvende 20 gaten (waar de lopers nog op gezet moeten worden) niet allen dezelfde waarschijnlijkheid om op te treden.

De oorzaak is dat de koning niet op de onderste en bovenste rij mag staan. Dus de velden op de onderste en bovenste rij zullen gemiddeld vaker leeg staan dan de overige velden. Ook de positie van de torens geven asymmetrie. Een toren op A1 en op A3 is onmogelijk. Dus als er 1 toren op de onderste rij staat, dan noodzakelijk ook de andere.

[PeterPan]

Foutje De koning mag natuurlijk wel op de onderste rij staan. Het verhaal van de torens blijft wel overeind.

[jhnbk]

euhm 'k dank dat ik te summier uitleg heb gegeven

de witte stukken moeten op lijn 1 staan (geen pionnen uiteraard)

de zwarte stukken moeten op lijn 8 staan (spiegelbeeld van de witte)

dan hebben we nog altijd het probleem is de kans hetzelfde als ik eerst lopers zet dan als ik eerst paarden zet

http://en.wikipedia.org/wiki/Chess960

[PeterPan]

euhm 'k dank dat ik te summier uitleg heb gegeven

Die dank is wederzijds.

Als ik eerst de koning plaats met zijn 2 torens en vervolgens de 2 lopers, dan hebben we de volgende situatie.

Wat is de kans dat het loperpaar op de lijnen c en d staat? Die kans is niet groot, want dat is alleen mogelijk als de koning op f of g staat.

Wat is de kans dat het loperpaar op de lijnen a en b staat? Die kans is groter, want dat is mogelijk als de koning op d,e,f of g staat.

Dus de volgorde van plaatsing is van belang.

[Draat]

Dat maakt toch niet uit? Ervan uitgaande dat je alleen geïnteresseerd bent in geldige opstellingen dan is de methode van jhnbk gewoon het handigst. In die wikipedialink staat zelfs beschreven hoe je op die manier een willekeurige geldige opstelling kan maken:

1. Gooi een dobbelsteen. Als je 5 of 6 gooit overgooien. Plaats de loper op het zoveelste witte veld. Als je bijvoorbeeld 3 gooit dan komt er een loper op f1.

2. Idem voor de "zwarte" loper. Als je bijvoorbeeld 1 gooit dan komt er een loper op a1.

3. Gooi de dobbelsteen en plaats de dame op het zoveelste vrije veld.

4. Gooi de dobbelsteen en plaats een paard op het zoveelste vrije veld. Bij 6 overgooien.

5. Gooi de dobbelsteen en plaats het tweede paard op het zoveelste vrije veld. Bij 5 of 6 overgooien.

Er zijn nu nog drie vrije velden. Daar komen van links naar rechts toren, koning en toren te staan.

Deze methode werkt altijd.

Het vraagstuk is nu teruggebracht tot een eenvoudig dobbelprobleem:

Code: Selecteer alles

1e worp	2e worp

1

1 of 2

2

2 of 3

3

3 of 4

4

4

Totale kans 3*(1/8) + 1/16 = 7/16

[jhnbk]

ik blijf bij mijn kans van

\(\frac{7}{16}\)

aangezien het aantal gunstige en het aantal mogelijke op eenzelfde manier is berekend

@PeterPan: dank moet denk zijn (sorry, debiele typ fout)

[physicalattraction]

Ik neem aan dat er bedoeld wordt met de zin: De koning moet tussen de torens staan, dat er zowel ergens links als ergens rechts van de koning moet een toren staan, maar dit hoeft niet direct er naast te zijn.

[PeterPan]

Ik neem aan dat er bedoeld wordt met de zin: De koning moet tussen de torens staan, dat er zowel ergens links als ergens rechts van de koning moet een toren staan, maar dit hoeft niet direct er naast te zijn.

Als jij tussen de koning en koningin staat wordt toch niet bedoeld dat tussen jouw en de koning nog 30 personen staan en tussen jou en de koningin 500 personen?

Ik zet voor het gemak alleen even de witte stukken op.

Aangenomen dat de koning geflankeerd wordt door de torens, dan is de kans op 2 lopers naast elkaar als

1. de volgorde is eerst lopers, dan de overige stukken: 1/4.

2. eerst koning+torens, dan lopers, dan de rest: 1/3.

Verder is een complicerende factor met welk kansmechanisme toren+paren worden neergezet.

[physicalattraction]

In de Wikipedia link die jhnbk gaf, staat Fisher schaak uitgelegd en is te vinden dat de torens niet direct naast de koning hoeven te staan. Ook staat er uitgelegd hoe je eerlijk de stukken verdeelt (in welke volgorde dan ook). Een kansberekening om uit te rekenen hoe groot de kans is dat er twee lopers naast elkaar staan is dan niet meer zo moeilijk en ik ben het dan ook met

\(\frac{7}{16}\)

eens.