Rekenregels voor verwachtingswaarde en standaardafwijking

[wilcoholic]

Stel je hebt een experiment waar de verwachtingswaarde -1 is en de standaard afwijking 5. En stel je herhaalt het experment 25x. Mag je dan zeggen dan de verwachtingswaarde 25* -1 = -25 en de standaard waarde dus 5 *25 = 125?

Gelden gewoon de normale rekenregels? Want hoe moet je anders bijvoorbeeld de standaard afwijking berekenen als je een experiment 25x herhaalt?

[Rogier]

En stel je herhaalt het experment 25x. Mag je dan zeggen dan de verwachtingswaarde 25* -1 = -25 en de standaard waarde dus 5 *25 = 125?

Gelden gewoon de normale rekenregels?

Jep, correct. (waar je "standaard waarde" schreef bedoelde je standaardafwijking of standaarddeviatie neem ik aan)

Dit is natuurlijk gewoon uit te rekenen. Neem de stochast X voor de uitkomst van één experiment, en Y = 25X voor 25 experimenten. Als

\(E(X)\)

en

\(\sigma_X\)

(het gemiddelde / de verwachting en de s.d. van X) zijn gegeven, dan:

\(E(Y)= E(25X) = 25E(X)\)

en

\(\sigma_X = \sqrt{E(X^2)-E(X)^2}\)

en dus:

\(\sigma_Y = \sqrt{E(Y^2) - E(Y)^2}\)

\(\sigma_Y = \sqrt{E((25X)^2) - E(25X)^2}\)

\(\sigma_Y = \sqrt{25^2 E((X)^2) - 25^2 E(X)^2}\)

\(\sigma_Y = 25 \sqrt{E((X)^2) - E(X)^2}\)

\(\sigma_Y = 25 \sigma_X\)

[wilcoholic]

Ja standaard deviatie bedoel ik. En ik snap niet helemaal hoe die formule werkt. Ik heb twee formules voor de standaard deviatie gezien en ik heb ze beide gebruikt. Maar 2x kreeg ik een ander antwoord

Stel ik heb -3, 5 en 7 euro. En de kans om -3 en 7 euro te winnen is 1/6, de kans om 5 euro te winnen is 2/3.

E(X) = 4

Ik gebruik nu jou formule voor de standaardafwijking. Dus ik krijg

= ( -3 * -3 * 1/6 + 5^2 * 2/3 + 7^2 * 1/6 - 16 * 3 )^1/2 =

en dan krijg ik een wortel uit een negatief getal.

Via deze formule

\(\sigma_X = \sqrt{E(X-EX)^2}\)

s(X) = ((-3-4)^2 * 1/6 + (5-4)^2 * 2/3 + (7-3)^2 * 1/6)^1/2 = (31/3)^(1/2)

[Rogier]

Ik gebruik nu jou formule voor de standaardafwijking. Dus ik krijg

= ( -3 * -3 * 1/6 + 5^2 * 2/3 + 7^2 * 1/6 - 16 * 3 )^1/2 =

Daar gaat iets mis, die *3 op het eind hoort er niet.

\(E(X^2) = (-3)^2\cdot\frac16 + 5^2\cdot\frac23 + 7^2\cdot\frac16\)

en

\(E(X)^2\)

is gewoon

\(4^2=16\)

Dus krijg je

\(\sqrt{E(X^2)-E(X)^2} = \sqrt{\frac{79}{3}-16}=\sqrt{\frac{31}{3}}\)

[wilcoholic]

Oh ja natuurlijk. Dank je wel.

Maar het kan ook nooit voorkomen dat er een negatieve wortel eruit komt?

[TD]

Nee, vermits E[X²] niet kleiner kan zijn dan E[X]² is E[X²]-E[X]² nooit negatief.