[mechanica] traagheidsmoment berekenen

[gast004]

Hallo,

ik heb een herexamen van mechanica en momenteel ben ik bezig met het hoofdstuk over starre lichamen en rotatie. Hierbij moet je o.a. het traagheidsmoment van lichamen berekenen:

\(I=MK²\)

\(K²=\frac{1}{V} \int r² dV\)

Om de gyratiestraal te berekenen (K²), kies je eerst een gepast coördinatenstelsel: klassiek cartesisch assenstelsel (dV=dxdydz), cilindercoördinaten (dV=rdrdθdz) of sferische coördinaten (dV=dr rsinθdφ rdθ), naargelang het lichaam (orthogonale vormen, omwentelingslichamen of bolvormen). Daarna zet je de r uit de formule van de gyratiestraal in functie van de coördinaten en stel je de integraal op.

Nu is mijn vraag, hoe bepaal je de grenzen van deze meervoudige integraal? Ik weet dat deze de grenzen van het lichaam zijn, maar hoe weet je of je van -L/2 tot L/2 of van 0 tot L of ... moet nemen? Of maakt dat niet uit? Maar de uitkomst is dan toch anders? Of heb je dan gewoon een andere oorsprong?

Enkele voorbeelden:

-een blok (massa M, lengte L, breedte B, hoogte H) (roteert om hoofdas volgens de hoogte)

-een cilinder (massa M, straal R, lengte L) (roteert om cilinderas)

-een cilinder (massa M, straal R, lengte L) (roteert om een hoofdas loodrecht op cilinderas)

-een kegel (massa M, straal R, hoogte H) (roteert om zijn as)

-een bol (massa M, straal R) (roteert om een hoofdas)

Welke grenzen neem je best bij deze lichamen? Is hier een bepaalde regel voor? Hoe weet je wat het best te berekenen is?

Alvast bedankt

Mvg

Evi

[Fingolfin]

Voor het blok:

Je integreert hier met de as waarom het object draait als r=0. Voor een blok houdt dit in van -L/2 tot L/2 moet integreren. Stel je integreert van 0 tot L dan bereken je de traagheid om een as die door langs zijkant van het blok gaat en parallel loopt aan de hoofdas. Je integreert naar een tweede variabele (zeg y) van -B/2 tot B/2 en omdat de as in de hoogte parallel loopt aan je rotatieas (dus r constant) kun je direct met de hoogte vermenigvuldigen.

Bij een bol gebruik je bolcoordinaten waarbij je gepaste constanten gebruikt (0<s<R, 0<theta<2 pi, 0<phi<pi). Dan krijg je

\(r=\sqrt{s^2 \cos^2(\theta) \sin^2(\phi)+s^2 \sin^2(\theta) \sin^2(\phi)}=s \sin(\phi) \)

. Vergeet

\(s^2 \sin(\theta)\)

niet.

Een cilinder om zijn hoofdas gaat in cilindercoordinaten prima, hierbij loopt 0<s<R en 0<theta<2 pi. Hier geldt r=s. Vermenigvuldig dit met de hoogte van je cilinder (je integreert voor de hoogte over een constante)

Bij de kegel zou ik weer cilindercoordinaten nemen maar integreer s van 0 tot R*z/H en vervolgens integreer je over z van 0 tot H (zo staat de kegel op met de punt naar beneden maar dat maakt niet uit voor I) ik neem hierbij aan dat je met R de maximale straal bedoelt.

voor het geval waarbij de rotatieas loodrecht op de cilinderas staat weet ik niet hoe je hem direct kunt integreren. Ik zou proberen om op ieder cirkelvormige (infinitesimaal dunne) schijfje van de rechtopstaande cilinder het loodrechte assen theorema toe te passen en daarna met behulp van het paralelle assen theorema voor ieder schijfje het traagheidsmoment om de gewenste as te bereken. Vervolgens integreer je over alle schijfjes.

Ik heb het echter nooit gedaan, het is maar een gok en het kan vast makkelijker