Normaalgezien zorgt getijdenwerking voor een vervorming naar cirkelvormige banen (de eccentriciteit is bij planeten die dicht staan eerder laag, omdat de getijdenwerking dichtbij het grootst is). Ik herinner me iets als volgt. De getijdenwerking zorgt in het snelste punt voor vertraging en in het traagste punt voor versnelling (Brinx heeft dat eens uitgelegd, maar de zoekfunctie levert bij mij niet steeds het gewenste resultaat). Dat eerste is alleszins aannemelijk, dat tweede vind ik op het eerste zicht nogal raar.
OK. Dus toch een proces dan planeetbanen een een cirkel laat equilibreren. Zou dat de reden zijn dat de maan wel een cirkelvormige baan heeft (in ieder geval vrijwel).
Maar, zoals Morzon ook zegt. Voor twee puntmassa's met een zwaartekrachtsveld vind je wel degelijk elliptische banen. En niet ongeveer. Die worden dan in werkelijkheid verstoord door andere planeten, getijdewerking en vast nog meer. Maar toch.
Rekenen aan ellipsen is heel leuk, mits je wel op het juiste moment de juiste truuks gebruik. Eens even kijken. Een massa m beweegt rondt een massa M onder invloed van de zwaartekracht. Ik ga er even van uit dat M veel zwaarder is en dus niet beweegt. Dat kun je exact doen door beweging rond het zwaartepunt te gebruiken (niet zo moeilijk te bewijzen). Maar dat laat ik even zitten.
Je krijgt:
\(F = G \frac{m M}{r^2}\)
,
\(a = \frac{GM}{r^2}\)
en dus:
\(\ddot{\vec{r}} = -\frac{GM}{r^2} \hat{r}\)
In coordinaten:
\(\ddot{x} = -\frac{GM}{r^3} x\)
en
\(\ddot{y} = -\frac{GM}{r^3} y\)
We zoeken oplossingen in de vorm van een ellips met lange as a, korte as b en brandpunten op x = +-c. (a^2+b^2=c^2).
Dus:
\(x = a \cos(\phi)+c\)
en
\(y = b \sin(\phi)\)
met \phi een functie van t.
Dus:
\(\dot{x} = -a \sin(\phi) \dot{\phi}\)
en
\(\dot{y} = b \cos(\phi) \dot{\phi}\)
En:
\(\ddot{x} = -a \cos(\phi) \dot{\phi}^2 -a \sin(\phi) \ddot{\phi}\)
en
\(\ddot{y} = -b \sin(\phi) \dot{\phi}^2 +b \cos(\phi) \ddot{\phi}\)
Maar, er zijn mooie dingen. Bij voorbeeld (deze gaan we straks flink gebruiken):
\(r^2 = x^2 + y^2= (a \cos(\phi)+c)^2 + (b \sin(\phi))^2\)
\(= a^2 \cos{\phi}^2 + 2 a c \cos{\phi} + c^2 + b^2 \sin{\phi}^2= a^2 + 2 a c \cos{\phi}+c^2\cos{\phi}^2= (a + c \cos{\phi})^2\)
Verder gaan we niet de hele vergelijking oplossen, maar gebruik maken van het (behouden) impulsmoment.
\(L = x \dot{y} - y \dot{x}= (a \cos(\phi)+c)(b \cos(\phi) \dot{\phi}) - (b \sin(\phi))(-a \sin(\phi) \dot{\phi})= b ( a + c \cos{\phi} ) \dot{\phi}= b r \dot{\phi}\)
Hiermee kun je \phi(t) oplossen. Maar we gebruiken het voor:
\(\dot{\phi} = \frac{L}{br} \)
en
\(\ddot{\phi} = \frac{L}{br^2}c \sin{\phi} \dot{\phi} = \frac{L^2}{b^2r^3}c \sin{\phi} \)
Invullen geeft:
\(\ddot{x} = -a \cos(\phi) (\frac{L}{br})^2 -a \sin(\phi) \frac{L^2}{b^2r^3}c \sin{\phi}= -a \frac{L^2}{b^2r^3}( \cos(\phi)(a + c \cos{\phi}) + c \sin{\phi}^2 )= -a \frac{L^2}{b^2r^3} x \)
\(\ddot{y} = -b \sin(\phi) (\frac{L}{br})^2 +b \cos(\phi) \frac{L^2}{b^2r^3}c \sin{\phi} = -a \frac{L^2}{b^2r^3} y \)
Dit is een oplosing, voor:
\(a \frac{L^2}{b^2r^3} = GM\)
. Bij voorbeeld kun je L en a vrij kiezen. Dan vindt je de b van de baan die de planeet zal volgen. Daaruit volgt dan eigenlijk meteen dat alle oplossingen ellipsvormig zijn. Immers, voor elke begintoestand heb je een ellipsvormige oplossing.
Mooi hè? Ik ben er altijd weer onder de indruk van hoe elegant ellipsberekeningen gaan.
