Waarom zijn planeetbanen elliptisch?

[Reinoutgoossens]

Ik ben al een hele tijd op zoek naar het antwoord op volgende vraag:

Waarom bewegen planeten zich voor in elliptische banen? Ik zocht op vele sites, maar vond nergens een duidelijk antwoord. Heeft er iemand hier een duidelijk antwoord op of kent iemand een goeie site waar ik me kan behelpen.

Dank u

[Klintersaas]

Heb je ook al in het Engels gezocht? Volgend citaat is afkomstig uit de eerste hit die Google toont wanneer je why do planets move in elliptical orbits ingeeft:

Planets move along elliptical orbits because planets move in a gravitational force field which falls off as one over the square of the distance between the sun and the planet ( Force = GMm/r^2 from Newton's Law of Gravity). The planet is also subject to the conservation of momentum and energy, and the only 'solution' to this combination of requirements is an elliptical orbit. Intuitively, if a planet were in a circular orbit, but the orientation of this orbit were perturbed very slightly, because the strength of the gravitational force depends on separation, there will be some parts of the new orbit where the planet would feel a slightly stronger gravitational pull than at other parts. The speed of the planet would speed up slightly, and so the instantaneous shape of the new orbit would change. In a circular orbit, a planet would have the same orbital speed everywhere. This is not possible in a gravitational field unless, like a pencil balanced on its edge, the planet were orbiting at exactly the right distance from the Sun so that the centrifugal force caused by its speed was exactly balanced by the Sun's gravitational force.

Bron: http://www.astronomycafe.net/qadir/q283.html

Zie hier voor nog meer informatie.

[phoenixofflames]

misschien kan dit ook wat helpen

http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem

http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Runge-Lenz-Vektor

de baan hangt af van de eccentriciteit, die afhangt van de energie

[Jan van de Velde]

of, kort en simpel, een planeet zou liefst in een cirkelbaan willen, maar de kans dat het in die bijzondere ellips terechtkomt is te verwaarlozen.

[oscar2]

Waarom zou een planeet in een cirkelbaan willen? Alle oplossingen voor beweging in een zwaartekrachtsveld zijn eliptisch. Dat vergt het nodige rekenwerk om aan te tonen. Maar ik zou niet weten waarom een cirkel de voorkeur zou kunnen hebben.

[Jan van de Velde]

Is die cirkel dan eigenlijk geen evenwichtstoestand?

[oscar2]

Nee. Het enige wat indedaad bijzonder aan de cirkel is, is dat dat de kinetische en potentiele energie constant zijn. Bij een elliptische baan worden kinetische en potentiele energie steeds tegen elkaar uitgewisseld. Dat zou je als een soort slingerbeweging kunnen zien. Maar het is niet zo (althans ik zou niet weten hoe) dat een planeet na lang tijd, of door wrijving, uiteindelijk in een cirkelbaan terecht komt.

[Jan van de Velde]

Maar het is niet zo (althans ik zou niet weten hoe) dat een planeet na lang tijd, of door wrijving, uiteindelijk in een cirkelbaan terecht komt.

Dat kan ik begrijpen, want dat zou veronderstellen dat die wrijving slechts in één richting zou werken, en wel in de richtingen van en naar het middelpunt van de beweging (alleen zijwaarts dus). Die situaties ken ik in de praktijk inderdaad niet. Wat niet wegneemt dat m.i. de reden dat planeten niet in cirkelbanen maar in ellipsen bewegen is dat áls ze al in een cirkel zouden beginnen ook maar de geringste verstoring voldoende is om ze toch weer uit die cirkel in een ellips te krijgen, hoe weinig excentrisch ook. Maar wil dat zeggen dat enige precies bepaalde ellips waarschijnlijker is dan een cirkel? Lijkt me niet.

[Phys]

Ik zeg dit niet met alle zekerheid (zou het moeten opzoeken), maar volgens mij is het wiskundig te bewijzen dat planeten in ellipsbanen bewegen uit de gravitatiewet.

[Een planeet heeft te maken met verschillende massa's op verschillende afstanden die alle op verschillende manier aan de planeet trekken. Dit maakt het intuitief duidelijk dat een cirkelbeweging onmogelijk is. Maar goed, intuitie is geen wetenschap.]

[Jan van de Velde]

Jawel, maar dan praat je

a) nog steeds over verstoringen

b) daarmee zeg je dan tevens dat die ellips ook nooit dezelfde ellips blijft.maar altijd aan veranderingen onderhevig is

daardoor zal een cirkel altijd een ellips worden, maar een ellips ook weer (onmiddellijk) een andere ellips en zijn er dus ook geen ellipsbanen.

Ofwel, het floddert allemaal wat rond in banen die bij benadering en over realtief korte tijd beschouwd een bepaalde ellips zijn, en de kans dat een planeet in één welbepaalde ellips zit is even groot als dat hij in die ene welbepaalde ellips genaamd cirkel terechtkomt.

shoot.

[eendavid]

Normaalgezien zorgt getijdenwerking voor een vervorming naar cirkelvormige banen (de eccentriciteit is bij planeten die dicht staan eerder laag, omdat de getijdenwerking dichtbij het grootst is). Ik herinner me iets als volgt. De getijdenwerking zorgt in het snelste punt voor vertraging en in het traagste punt voor versnelling (Brinx heeft dat eens uitgelegd, maar de zoekfunctie levert bij mij niet steeds het gewenste resultaat). Dat eerste is alleszins aannemelijk, dat tweede vind ik op het eerste zicht nogal raar.

[Morzon]

Ik zeg dit niet met alle zekerheid (zou het moeten opzoeken), maar volgens mij is het wiskundig te bewijzen dat planeten in ellipsbanen bewegen uit de gravitatiewet.

Je kan de 3 wetten van Kepler inderdaad "bewijzen" met de gravitatiewet. Afleiding hiervan is niet zo moeilijk, maar vergd wel wat rekenwerk. (Peterpan had het ook heel mooi(kort) met complexe schrijfwijze bewezen)

[Reinoutgoossens]

Kent er iemand een Nederlandse site die bevredigende informatie rond dit thema bevat, want ik ben natuurlijk meer vertrouwd met het Nederlands dan met het Engels.

Dank u

[Phys]

Hier een afleiding van de wetten van Kepler op basis van Newton: http://geometryexpressions.com/journal/pdf/kep.pdf

[oscar2]

Normaalgezien zorgt getijdenwerking voor een vervorming naar cirkelvormige banen (de eccentriciteit is bij planeten die dicht staan eerder laag, omdat de getijdenwerking dichtbij het grootst is). Ik herinner me iets als volgt. De getijdenwerking zorgt in het snelste punt voor vertraging en in het traagste punt voor versnelling (Brinx heeft dat eens uitgelegd, maar de zoekfunctie levert bij mij niet steeds het gewenste resultaat). Dat eerste is alleszins aannemelijk, dat tweede vind ik op het eerste zicht nogal raar.

OK. Dus toch een proces dan planeetbanen een een cirkel laat equilibreren. Zou dat de reden zijn dat de maan wel een cirkelvormige baan heeft (in ieder geval vrijwel).

Maar, zoals Morzon ook zegt. Voor twee puntmassa's met een zwaartekrachtsveld vind je wel degelijk elliptische banen. En niet ongeveer. Die worden dan in werkelijkheid verstoord door andere planeten, getijdewerking en vast nog meer. Maar toch.

Rekenen aan ellipsen is heel leuk, mits je wel op het juiste moment de juiste truuks gebruik. Eens even kijken. Een massa m beweegt rondt een massa M onder invloed van de zwaartekracht. Ik ga er even van uit dat M veel zwaarder is en dus niet beweegt. Dat kun je exact doen door beweging rond het zwaartepunt te gebruiken (niet zo moeilijk te bewijzen). Maar dat laat ik even zitten.

Je krijgt:

\(F = G \frac{m M}{r^2}\)

,

\(a = \frac{GM}{r^2}\)

en dus:

\(\ddot{\vec{r}} = -\frac{GM}{r^2} \hat{r}\)

In coordinaten:

\(\ddot{x} = -\frac{GM}{r^3} x\)

en

\(\ddot{y} = -\frac{GM}{r^3} y\)

We zoeken oplossingen in de vorm van een ellips met lange as a, korte as b en brandpunten op x = +-c. (a^2+b^2=c^2).

Dus:

\(x = a \cos(\phi)+c\)

en

\(y = b \sin(\phi)\)

met \phi een functie van t.

Dus:

\(\dot{x} = -a \sin(\phi) \dot{\phi}\)

en

\(\dot{y} = b \cos(\phi) \dot{\phi}\)

En:

\(\ddot{x} = -a \cos(\phi) \dot{\phi}^2 -a \sin(\phi) \ddot{\phi}\)

en

\(\ddot{y} = -b \sin(\phi) \dot{\phi}^2 +b \cos(\phi) \ddot{\phi}\)

Maar, er zijn mooie dingen. Bij voorbeeld (deze gaan we straks flink gebruiken):

\(r^2 = x^2 + y^2= (a \cos(\phi)+c)^2 + (b \sin(\phi))^2\)

\(= a^2 \cos{\phi}^2 + 2 a c \cos{\phi} + c^2 + b^2 \sin{\phi}^2= a^2 + 2 a c \cos{\phi}+c^2\cos{\phi}^2= (a + c \cos{\phi})^2\)

Verder gaan we niet de hele vergelijking oplossen, maar gebruik maken van het (behouden) impulsmoment.

\(L = x \dot{y} - y \dot{x}= (a \cos(\phi)+c)(b \cos(\phi) \dot{\phi}) - (b \sin(\phi))(-a \sin(\phi) \dot{\phi})= b ( a + c \cos{\phi} ) \dot{\phi}= b r \dot{\phi}\)

Hiermee kun je \phi(t) oplossen. Maar we gebruiken het voor:

\(\dot{\phi} = \frac{L}{br} \)

en

\(\ddot{\phi} = \frac{L}{br^2}c \sin{\phi} \dot{\phi} = \frac{L^2}{b^2r^3}c \sin{\phi} \)

Invullen geeft:

\(\ddot{x} = -a \cos(\phi) (\frac{L}{br})^2 -a \sin(\phi) \frac{L^2}{b^2r^3}c \sin{\phi}= -a \frac{L^2}{b^2r^3}( \cos(\phi)(a + c \cos{\phi}) + c \sin{\phi}^2 )= -a \frac{L^2}{b^2r^3} x \)

\(\ddot{y} = -b \sin(\phi) (\frac{L}{br})^2 +b \cos(\phi) \frac{L^2}{b^2r^3}c \sin{\phi} = -a \frac{L^2}{b^2r^3} y \)

Dit is een oplosing, voor:

\(a \frac{L^2}{b^2r^3} = GM\)

. Bij voorbeeld kun je L en a vrij kiezen. Dan vindt je de b van de baan die de planeet zal volgen. Daaruit volgt dan eigenlijk meteen dat alle oplossingen ellipsvormig zijn. Immers, voor elke begintoestand heb je een ellipsvormige oplossing.

Mooi hè? Ik ben er altijd weer onder de indruk van hoe elegant ellipsberekeningen gaan.