[microcrusus] rekenen met breuken

[Isaac Newton]

Plaats in deze topic je vragen en opmerkingen over de [microcursus] REKENEN MET BREUKEN .

Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen

-----------------------------------------------------------------------------------------

Leuke cursus hoor! Natuurlijk weet iedereen hier dit al, denk ik althans, maar toch mooi. Lekker duidelijk en overzichtelijk.

[TD]

Bedankt voor je compliment!

Voor het overgrote deel van de gebruikers zal dit inderdaad reeds gekend zijn, maar toch zien we in huiswerktopics regelmatig fouten opduiken tegen deze 'elementaire' regels van het rekenen met breuken, het is dan ook hoofdzakelijk voor die doelgroep natuurlijk.

[Isaac Newton]

Klopt. Ik wacht met smart op de microcursus over de goniometrische functies, de sinus, cosinus en de tangens. :) Ga zo door!

[Jerome]

TD!, leuk stukje, ik had nog wel wat opmerkingen:

Bij het vereenvoudigen van breuken zeg je dat je teller en noemer gaat schrijven als een product van kleinere getallen. Dat is misschien niet voor iedereen altijd even makkelijk/duidelijk. Het is wellicht handig om te vermelden dat je die producten kan vinden door de teller en de noemer te schrijven als een product van priemfactoren. Als je daarna geen gelijke getalen kan wegstrepen zoek je de grootste gemeenschappelijke deler en vervolgens deel je de noemer en de teller door die ggd.

Je gaat in je artikel eigenlijk alleen in op breuken met getallen. Het is misschien ook leuk om een stukje te schrijven over gebroken vergelijkingen. Een aantal handige regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen zijn bijvoorbeeld:

als a/b=c/b dan a=c mits b!=0

daaruit volgt: als a/b=c=c/1=c*b/b dan a=c*b mits b!=0

daaruit volgt: als a/b=0 dan a=0 mits b!=0

[TD]

Beste Jerome, bedankt voor je reactie.

Dat 'ontbinden in factoren' van getallen is inderdaad niet evident voor iedereen, daar heb ik ook bij stilgestaan. Het probleem is dat priemfactoren voor velen ook geen bekende stof is (in Nederland blijkbaar meer dan in België, maar ik kreeg het bijvoorbeeld niet vroeger). Het blijft in essentie een 'microcursus' en ontbinden kan op zich een eigen cursus vullen... Kortom, ik ga ermee akkoord dat het voor deze cursus handig zou zijn, maar het wordt hier voorlopig als 'voorkennis' beschouwd.

Voor je tweede suggestie geldt min of meer hetzelfde: dat is inderdaad een interessant en nuttig aspect, maar het zou de cursus weer langer maken en bij het opstellen werd (door collega auteurs die helpen met nalezen) al opgemerkt dat het al vrij lang was. Ik wou het echter niet splitsen omdat het nu een vrij afgelijnd geheel vormt, maar vergelijkingen zou weer een heel anders aspect openen dat je niet zomaar kan behandelen zonder wat dieper op 'vergelijkingen oplossen' in het algemeen in te gaan.

[Jan van de Velde]

Toch lijkt me dat systematisch ontbinden in factoren van getallen een handig hulpmiddel voor breuken met grotere getallen,

Ik ben het met TD! eens dat de breukencursus een redelijk rond geheel is. Anderzijds is uitleg en een goed rekenvoorbeeld voor praktische toepassing op bijv. de breuk 180/684 makkelijk in een paragraafje te passen. Maar we zouden eens moeten zien of we dat in een aanvullend cursusje of cursusjes kunnen of moeten steken.

Dat oplossen van breukenvergelijkingen met "letters" is zeer handig als verwijzingsadres voor de cursussen "systematisch rekenvragen oplossen" en "grootheden, eenheden, symbolen en voorvoegsels". Ik denk dat dát wel een apart cursusje waard is, ook al omdat het een andere cursus "ontlast".

Want het helpt een hoop als je dat soort dingen kan voor allerlei natuur- en scheikunde-opgaven, en ik vind dat in alle methoden die ik ken er veel te weinig nadruk op wordt gelegd dat je verbanden tussen grootheden en eenheden kan zien door handig met je eenheden (als algebraïsche symbooltjes) te rekenen (eenhedenvergelijkingen). Ik heb dat in "systematisch rekenvragen oplossen" wel kort behandeld, maar dit zou uitgebreider mogen. Mogelijk is dat dus een apart cursusje waard. Zo kan de paragraaf eenhedenvergelijkingen uit die "systematisch....." cursus daarna volstaan met één klein voorbeeldje en voor de rest een verwijzing?

Ellende van dit soort dingen is dat uiteindelijk alles met alles samenhangt. En het is zinloos om dit soort dingen in één groot samenhangend verhaal te steken, ("de mAcrocursus van Alles" [rr] ) want dat wordt een enorm document waar iedereen van schrikt en gauw terug afsluit, en waar ook gen enkele potentiële auteur aan wil beginnen.

Het valt niet mee om vast te stellen waar samenhang ophoudt en versnippering begint. Een set microcursussen moet daar toch netjes een logische middenweg in zoeken.

[A.Square]

Erg netjes!

Misschien een een uitstapje naar procenten? Ik merkte bij veel mijn bijleskindertjes dat ze niet wisten hoever die twee begrippen in elkaar verstrengeld zitten.

[TD]

Dat kan zeker (ooit?) een aanvulling zijn.

[oscar2]

Dag Tom,

Ik kom je cursus voor het eerst tegen. Mijn complimenten met een mooie en nuttige tekst. En beslist niet zo dat iedereen dit al kan. Ik heb momenteel een leerling die aan de pabo (lerarenopleiding basisonderwijs NL) wil beginnen en hier veel moeite mee heeft. En zij is niet de enige! Het hang er nog wel een beetje vanaf of dat ook je doelgroep is. Je zou ook een formelere opzet kunnen kiezen om het gedrag van breuken te begrijpen (we weten allemaal dat delen door een breuk gelijk staat aan vermenigvuldigen met het omgekeerde. maar waarom eigenlijk). Maar meestal kies je m.i. voor de doelgroep die het rekenen met breuken nog niet (goed) beheerst. Hopelijk weet die het wetenschapsforum ook te vinden.

Toch een paar opmerkingen:

0) Een inhoudsopgave (met links) zou wel fijn zijn.

1) Voor de genoemde doelgroep is het m.i. wel essentieel dat je geen formele afleidingen gebruikt. Dat doe je gelukkig ook zelden. Maar bij het gelijknamig maken van breuken zou ik toch graag wat meer voorbeelden zien. Nu kom je meteen met de regel. En ik denk dat dit eigenlijk het essentiele onderdeel is. Het optellen en aftrekken als de noemers gelijk zijn heeft iedereen snel door. Maar dat je de noemers ook gelijk kunt maken vergt een extra inzicht, nl dat je de breuk ook met een andere (geschiktere) noemer kunt weergeven door de taart in meer stukjes op te delen. Aan het begin heb je daar wel wat over gezegd. Ik denk dat een paar regels toelichting hier veel verheldering op zal kunnen leveren.

2) Tot en met het vermenigvuldigen met een getal gaat het prachtig. Maar, als je gaat vermenigvuldigen met een breuk komt toch wel de vraag op. Wat is dat eigenlijk? (ook voor mij eigenlijk). Daar (maar misschien ook al eerder) zouden wat meer voorbeelden goed kunnen helpen. Ik denk dat we die ook in het dagelijks leven best vaak tegenkomen. Veelal van het type: "Een kilo aardappels kost 14/10 euro. Hoeveel kost 5/2 kilo?". Dit is natuurlijk de essentie van vermenigvuldigen. Bij heel aantal kilo's zal dat eenieder duidelijk zijn. Dan volgt de stap als het aantal kilo's een breuk is.

2b) De methode die wij gebruiken hanteert nog een tussenstap. Vermenigvuldigen met een stambreuk (1/n). He't is wel in te zien dat 1/2 van 3/8 nemen gelijk staat aan de 1/8'stes weer in tweeën hakken zodat je op 3/16 komt. Vandaar kun je de stap maken naar gewone breuken: 5/2 * 3/8 = 5 * 1/2 * 3/8 = 5 * 3/16 = 15/16. Uiteindelijk formaliseer je dat in de regel dat je tellers en noemers met elkaar vermenigvuldigt. Maar, als je dit ook in de tekst wilt stoppen komt er wel heel wat bij.

3) Bij het delen geef je wel meteen een formele definitie. Maar ook dit kan echt vanuit de praktijk. Uiteindelijk is het natuurlijk het omgekeerde van delen. "voor 5/2 kg aardappels heb je 23/10 euro betaalt. hoeveel kost dan eigenlijk 1 kg?" maar ook "een kg aardappels kost 7/10 euro. hoeveel kg kun je kopen voor 17/6 euro?" Vooral bij dat laatste is (merkwaardig genoeg) gelijknamig maken weer een hulpmiddel: 17/6 : 7/10 = 170/60 : 42/60. En dan is weer de vraag: hoe vaak past 170 in 42. Dus: 170/42. Dit is één (maar niet de enige) manier om op de formele uitdrukking "delen door het omgekeerde uit te komen". Maar ook dit heeft, toegegeven, heel wat voeten in de aarde.

Als je het plezierig vind wil ik mijn leerling wel eens vragen naar de tekst te kijken en me te vertellen waar voor haar de obstakels zitten.

Groet. Oscar

[TD]

Oscar, bedankt voor je complimenten en suggesties. Alvast een reactie:

De cursus is bedoeld voor beginners, zoals ook te lezen in de eerste zin van de inleiding. De echt formele(re) kant wordt niet behandeld, al probeer ik wel op z'n minst juist te zijn, maar dus niet theoretisch gefundeerd.

0) Op zich een goed idee, maar links zullen alleen lukken als ik de cursus in verschillende posts splits. Misschien een idee als ik de cursus een opfrisbeurt geef, met inbegrip van alle suggesties en verbeteringen tot nu toe.

1) Het gelijknamig maken is in elk geval een zeer cruciale stap. Hoewel er vier voorbeelden volgen op het einde van dat stukje en drie na de regel, behoeft dit onderdeel misschien wat extra aandacht/uitleg. Aan de andere kant wil ik wel voorkomen dat het te lang(dradig) wordt, het moet een "microcursus" blijven die relatief snel doorgenomen kan worden. Suggesties?

2) Voor mij komt iets zoals "Hoeveel kost 5/2 kilo?" een beetje artificieel over, maar je hebt wel gelijk dat "fysische" voorbeelden kunnen helpen bij het verschaffen van inzicht. Misschien kan er bij elk onderdeel een goede fysische interpretatie gezocht worden om te laten zien/aanvoelen dat de bijbehorende regel klopt.

2b) Nu je het vermeldt herinner ik me ook de term "stambreuk", maar als ik het vermenigvuldigen op die manier wil uitleggen moet ik dat begrip dus ook eerst invoeren. Misschien dat het op die manier beter aansluit bij de wijze waarop het op school gegeven wordt, dat zou een voordeel zijn. Aan de andere kant lijkt het me voor de 'onwetende lezer' geen nodige tussenstap, als je deze cursus volgt.

3) Zoals ik net al zei, wou ik vermijden dat de tekst te lang werd. Omdat delen eigenlijk geen fundamenteel nieuwe zaken met zich meebrengt (als je vermenigvuldigen kent en weet wat het omgekeerde van een breuk is), heb ik dit dan ook kort gehouden. Uiteraard kan het wel aangevuld worden met een meer intuïtieve uitleg, aan de hand van de fysische voorbeelden die misschien bij alle regels kunnen gevoegd worden.

Ik moet eerlijk toegeven dat ik het niet evident vond om de cursus te schrijven. Het is al lang geleden dat ik dit zelf op school kreeg (niet dat ik het niet meer kan, maar dat ik niet meer weet hoe ik dat toen heb ervaren :( ) en dit niveau/onderwerp komt op het forum en bij de studenten aan wie ik bijles geef zelden tot nooit voor. Vandaar is commentaar van harte welkom, zeker van iemand die misschien beter weet hoe dit er voor de leerlingen ook alweer aan toe gaat...

Uiteraard mag je leerling de cursus eens doornemen, als ze daar zin in heeft natuurlijk.

[Phys]

Nog één (heel) klein dingetje:

\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} \ \ = \ \ \frac{\left({\frac{a}{b}}\right)}{\left({\frac{c}{d}}\right)} \ \ = \cdots\)

vind ik nét iets duidelijker / beter dan het huidige

\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} \ \ = \ \ \frac{{\frac{a}{b}}}{{\frac{c}{d}}} \ \ = \cdots\)

[TD]

Akkoord, ik laat het voorlopig zo maar zal het in een grotere update mee aanpassen.

[oscar2]

Beste TD,

Hierbij mijn suggestie voor om het stuk "verschllende noemers" te vervangen. Door de indeling iets aan te passen is het evenlang als de oorspronkelijke tekst. Ik heb het netjes in een word-file maar die is helaas te groot om mee te sturen. Ik zal de tekst aan mijn leerling voorleggen en haar vragen waar de knelpunten zitten.

3b) Gelijknamig maken.

Als we breuken met verschillende noemers willen optellen, moeten we eerst de noemers gelijk maken. Als voorbeeld nemen we 1/2 + 1/3:

breuk

(3.31 KiB) 2948 keer gedownload

Door de taart in 6 stukken te delen krijg je: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

Een geschikte noemer is een gemeenschappelijk veelvoud van de twee noemers. Het simpelst vind je die door de twee noemers te vermenigvuldigen. Hierboven: 2x3 = 6.

Om de noemers gelijk te maken werden de twee helften (van linker taart hierboven) elk in 3 stukken verdeeld. Het aantal stukken (de noemer) werd daardoor drie keer zo groot. Maar het aantal grijze stukken (de teller) ook.

Regel: een breuk blijft gelijk als je teller en noemer met hetzelfde getal (maar niet 0) vermenigvuldigt.

Voorbeelden [gewoon wat er al was]

Soms kun je een gunstiger keus maken voor de gemeenschappelijke noemer. Je zoekt het kleinste gemene veelvoud (kgv). Als je bij voorbeeld 1/4 en 1/6 wilt optellen kun 12 als noemer gebruiken.

[oscar2]

Hoi,

Inmiddels blijk ik grotere bijlages te kunnen versturen. Dus, hier stuur ik mijn bovenstaande suggestie nog even als word mee. Ik hoop dat je er wat aan hebt. Groet. Oscar

gelijknamig

(38.5 KiB) 359 keer gedownload

[TD]

Ik ben dit niet vergeten, maar de aanpassingen zullen voor iets later zijn. Alvast bedankt voor de moeite!