Met formule(s) elke rij getallen mogelijk?

[Evert]

Dit is geen vraag voor school, dit is gewoon een vraag die ik zelf heb bedacht en ik zou het antwoord niet weten, al denk ik dat het nee is.

Maar in ieder geval:

Ik vroeg me af of je met een 1 of meer functies met een aantal parameters (zoals de bekend f_a,b,c(x) = ax² + bx + c) elk gewenste getallencombinatie kan krijgen (tussen bijvoorbeeld de 1 en 100) door alleen maar de parameters (a, b en c) te veranderen? Nu bedoel ik natuurlijk niet met de formule ax² + bx + c, want dat geeft een parabolische grafiek en zoals je je wel kan voorstellen moet mijn grafiek meer zigzag zijn.

Om het anders uit te leggen, voor als ik wartaal praat:

Als ik een aantal willekeurige waardes geef tussen de 1 en de 100 en daar een grafiek bij maak voor de duidelijkheid, is het dan mogelijk om daar een f_a,b,c,...(x) functie bij te maken? En als ik dan weer andere waardes geef of het dan mogelijk is om met dezelfde f_a,b,c,...(x) functie, maar dan door andere parameters in te vullen?

Ik hoop dat ik een beetje te begrijpen ben.

Ik denk dat het niet kan, want anders waren de mogelijkheden daarvan allang geexploiteerd, maar ik wil het toch voor de zekerheid even vragen.

btw, het hoeft niet per se 1 formule te zijn, als je het met 2 formules ook kan (de 1 voor de ene helft en de ander voor de andere helft oid) dan is dat ook goed. pi.gif

[TD]

Neem een veeltermfunctie van graad n:

\(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x+a_0\)

Je kan de n+1 coëfficiënten a_i (i van 0 tot n) bepalen met n+1 (onafhankelijke) voorwaarden, je hebt dan een stelsel van n+1 lineaire vergelijkingen in n+1 onbekenden. In het algemeen zul je dus een veeltermfunctie van graad n nodig hebben, als je de grafiek door n+1 willekeurige punten wil laten gaan.

[Evert]

Ok, nu moet je me ff excuseren voor mijn onwetendheid:P maar ik zit ook nog maar op de middelbare school.

Ten eerste:

ik weet wel dat xⁿ x tot de macht n is, maar wat is nouweer a_n?

En je moet ook even de toelichting daaronder in iets makkelijker/duidelijker woorden vertellen. pi.gif

[TD]

Je noemde je parameters a,b,c,... maar er zijn slechts 26 letters. Om het algemeen te houden (en dus ook meer parameters toe te laten), heb ik ze a₁, a₂, a₃,... genoemd. Het zijn dus gewoon de coëfficiënten van de veelterm, waarbij a_i hoort bij xⁱ.

Om de rest te kunnen volgen moet ik weten wat je al gezien hebt van stelsels van vergelijkingen. Heb je dat al behandeld en heb je matrices, methode van Gauss, bespreken van stelsels enz. al gezien?

Indien niet: de conclusie kan je wel volgen: het is steeds mogelijk een veeltermfunctie op te stellen die door gegeven punten gaat (natuurlijk geen verschillende punten met dezelfde x-coördinaat, dan kan er geen functie door gaan).

[Evert]

Maar dus als ik het goed begrijp, als ik bijvoorbeeld 10 verschillende punten heb moet ik meer dan 10 parameters invullen?

Jammer dan. Het was ook te mooi om waar te zijn. pi.gif

[TD]

In het algemeen wel, als de punten willekeurig zijn. Als jij natuurlijk drie punten geeft die "toevallig" op één lijn liggen, dan heb je geen parabool nodig omdat een rechte dan volstaat. Maar in het algemeen zullen drie willekeurige punten niet op één rechte liggen en dan heb je een parabool nodig. Zo heb je, opnieuw in het algemeen, een veelterm van graad n nodig om precies door n+1 punten te gaan.

Als je natuurlijk je eis verzwakt tot het vinden van een kromme die "voldoende dicht" bij gegeven punten ligt, dan heb kan je naar veeltermfuncties van lagere graad gaan. Alleen zullen de punten er dan niet exact op liggen, maar "in de buurt" van de kromme.

[Klintersaas]

Maar dus als ik het goed begrijp, als ik bijvoorbeeld 10 verschillende punten heb moet ik meer dan 10 parameters invullen?

Dat hoeft niet per se. Als die tien punten toevallig op één lijn liggen is er een rechte die erdoor loopt. Maar indien de punten willekeurig zijn moet je - zoals TD reeds zei - een veelterm van graad n hebben om door n+1 punten te gaan.

Je moet dus een rechte hebben om door 2 willekeurige punten te gaan een parabool om door 3 willekeurige punten te gaan een derdegraadsfunctie om door 4 verschillende punten te gaan,...

EDIT: TD was me voor.

[Evert]

Nee dat zou niet werken.

Het idee was namelijk dat je door zo min mogelijk parameters in te vullen toch precies een rij getallen kreeg die je wilde hebben, en dan het liefst ook zo'n lang mogelijke rij.

Maar ik dacht al dat dat niet zou kunnen, want anders was dat al gebruikt. pi.gif

[edit]@klintersaas, maar nu begrijp ik uit jouw tekst dat als ik 4 verschillende punten wil dat ik dan gewoon ax³ nodig heb met een bepaalde a?

[TD]

Je kunt met een beperkt aantal parameters natuurlijk een "oneindige rij" van getallen geneneren, alleen niet de getallen die jij precies wil. Zo kan je nooit een rechte vinden (dus werken met een veelterm van graad 1) die door (0,0), (1,1) en (3,4) gaat.

[edit]@klintersaas, maar nu begrijp ik uit jouw tekst dat als ik 4 verschillende punten wil dat ik dan gewoon ax³ nodig heb met een bepaalde a?

Nee, in het algemeen ga je ook nog bx²+cx+d nodig hebben, naast de ax³.

De functie f(x) = ax³ is een bijzondere derdegraadsfunctie, in het algemeen is f van de vorm f(x) = ax³+bx²+cx+d.

[Evert]

Nee, in het algemeen ga je ook nog bx²+cx+d nodig hebben, naast de ax³.

De functie f(x) = ax³ is een bijzondere derdegraadsfunctie, in het algemeen is f van de vorm f(x) = ax³+bx²+cx+d.

Ohja, sorry, wist ik wel, maar ik dacht even te snel en te simpel. pi.gif

[edit]Maar eigenlijk klopt zelfs dat toch niet? Ik bedoel, ik kan toch ook 3 willekeurige punten bedenken waar je geen parabool doorheen kan laten gaan? Of denk ik nou weer te simpel?

[TD]

Geeft niet, maar je ideetje gaat dus (helaas?) niet door.

Je kan het ook zo zien: een veelterm van graad n is in het algemeen uniek bepaald door n+1 willekeurige punten. Stel je geeft alvast die n+1 punten en veronderstel ook dat ze niet "toevallig" voldoen aan een veeltermvergelijking van lagere graad. Je veelterm van graad n ligt nu exact vast, is dus uniek bepaald.

Alle bijkomende punten die je nu nog graag had gewild, zijn niet meer helemaal vrij te kiezen. Een punt zal alleen nog maar aan de veeltermvergelijking voldoen, als het "toevallig" op de curve ligt van de veelterm die sinds daarnet al vast lag. Willekeurige punten zullen hier bijna altijd buiten vallen...

[edit]Maar eigenlijk klopt zelfs dat toch niet? Ik bedoel, ik kan toch ook 3 willekeurige punten bedenken waar je geen parabool doorheen kan laten gaan? Of denk ik nou weer te simpel?

Dat is net het "mooie", namelijk hetgeen wél kan. Zolang je geen verschillende punten neemt met gelijke x-coördinaat (zoals ik al zei: dan kan er nooit een functie doorheen gaan), lukt dit altijd. Als jij me drie willekeurige punten geeft, kan ik je een parabool geven die erdoor gaat pi.gif

[Evert]

Jammer

Het had wel handig geweest voor een compressie-methode, maarja nogmaals, als het had gewerkt hadden mensen het allang gebruikt.

[edit]Ok, momentje, ik maak even 3 punten in paint, dan durf ik (bijna;)) te wedden dat er geen parabool doorheen kan. pi.gif

[TD]

Oké, zolang je maar geen twee punten exact boven elkaar tekent... pi.gif

Met een tekening is wel onhandig, kan je coördinaten geven (schatten)?

[HosteDenis]

[edit]Maar eigenlijk klopt zelfs dat toch niet? Ik bedoel, ik kan toch ook 3 willekeurige punten bedenken waar je geen parabool doorheen kan laten gaan? Of denk ik nou weer te simpel?

Je kan altijd een parabool tekenen doorheen 3 willekeurige punten tekenen. (Tenzij deze op één rechte liggen, dan kan je er een rechtye door tekenen.)

Geef anders maar eens punten, en wij zullen er een parabool door tekenen.

Denis

EDIT: En net als TD zei mag je inderdaad geen twee punten boven elkaar tekenen, als je wil dat we een functievoorschrift geven, mag je natuurlijk geen twee functiewaarden bij één invoerwaarde verwachten.

[TD]

Als je ze precies op één lijn tekent, dan gaat de 'a' in f(x) = ax²+bx+c natuurlijk 0 zijn.

Je krijgt dan, zoals HosteDenis zegt, gewoon een rechte. Dat is ook wat ik hier zei.