Derdegraadsvergelijking met re
Geplaatst: zo 20 apr 2008, 15:29
Ik ben de eigenwaarden aan het bepalen van de matrix
Dan kom je uiteraard op de karakteristieke vergelijking
Aangezien de drie wortel reëel blijken te zijn, kom je er als het goed is met Cardano niet uit:
\(A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ -1 & 0 & a\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)\)
met a reëel.Dan kom je uiteraard op de karakteristieke vergelijking
\(\lambda^3-\lambda a+(1-a)=0\)
dat \(\lambda\)=-1 een wortel is, is snel in te zien. De andere twee heb ik met Mathematica kunnen achterhalen, en blijken \(\lambda=\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2}\)
en \(\lambda=\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}\)
te zijn. Nu is mijn vraag: hoe kom ik hier 'met de hand' op? Aangezien de drie wortel reëel blijken te zijn, kom je er als het goed is met Cardano niet uit:
Although this method is simple and elegant, it fails for the case of three real roots, e.g. whe D<0. For this case a different method (e.g. goniometrical) has to be used.