Derdegraadsvergelijking met reële wortels

[Phys]

Ik ben de eigenwaarden aan het bepalen van de matrix

\(A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ -1 & 0 & a\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)\)

met a reëel.

Dan kom je uiteraard op de karakteristieke vergelijking

\(\lambda^3-\lambda a+(1-a)=0\)

dat \(\lambda\)=-1 een wortel is, is snel in te zien. De andere twee heb ik met Mathematica kunnen achterhalen, en blijken

\(\lambda=\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2}\)

en

\(\lambda=\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}\)

te zijn. Nu is mijn vraag: hoe kom ik hier 'met de hand' op?

Aangezien de drie wortel reëel blijken te zijn, kom je er als het goed is met Cardano niet uit:

Although this method is simple and elegant, it fails for the case of three real roots, e.g. whe D<0. For this case a different method (e.g. goniometrical) has to be used.

[PeterPan]

\(\lambda^3-\lambda a+(1-a)= (\lambda+1)(\lambda^2+p\lambda+q)=0\)

Uitwerken geeft

\(p=-1\)

en

\(q=1-a\)

.

\(\lambda+1=0 \vee \lambda^2 -\lambda-a+1=0\)

.

Hier volgt nog wat onzin:

[foodanity]

Als je weet dat x=-1 een oplossing is dan volgt hieruit: x+1 = 0 en dus weet je dat (x+1) een factor is van de derdegraadsvergelijking, dan deel je dus door (x+1) en dan uitwerken met ABC formule?

[Phys]

Erg duidelijk, had ik moeten weten, bedankt!