Convergentie reeks.

[Bert F]

ik heb volgende reeks:

\(\sum ^{\infty} _{n=0} \frac{(-1)^nz^n}{(n+1)4^n} \)

deze convergeert voor

\(|z|<=4\)

maar niet voor -4

Waarom convergeert die voor 4 wel en niet voor -4? bij het afschatten gebruik je toch de absolute waarde? waarom doet dan het min teken er toe?

[PeterPan]

Niks afschatten.

Vul eens

\(z=\pm4\)

in en zie wat dat (na vereenvoudiging) voor een rij oplevert.

[Bert F]

als je 4 invult dan krijg je volgens mij

\(|\frac{(-1)^n4^n}{(n+1)4^n}|=|\frac{1}{(n+1)}|\)

dit divergeert volgens mij als je -4 invult dan krijg je net hetzelfde dus volgens mij, om dat je toch de absolute waarde beschouwt zal de reeks divergeren op

\(|z|=4\)

maar mijn boek zegt dat de reeks convergeert op

\(|z|<=4\)

zonder -4 is mijn boek fout? Groeten.

[PeterPan]

Waar haal je die absolute waardestrepen vandaan. In de som staat geen absolute waarde strepen.

\(\sum ^{\infty} _{n=0} \frac{(-1)^n4^n}{(n+1)4^n} = \sum ^{\infty} _{n=0} \frac{(-1)^n}{(n+1)}\)

en die som bestaat.

\(\sum ^{\infty} _{n=0} \frac{(-1)^n(-4)^n}{(n+1)4^n} = \sum ^{\infty} _{n=0} \frac{1}{(n+1)}\)

en die som bestaat niet.

[Bert F]

Waar haal je die absolute waardestrepen vandaan. In de som staat geen absolute waarde strepen.

Ik baseer me op een voorbeeldje uit een boek. Gaat men daar niet de convergentie na op de rand (rode streep), men gebruikt daar toch ook de absolute waarde waarom is dat daar dan wel oké? Welk verschil is er tussen 2 oefeningen? Groeten.

[PeterPan]

Ik baseer me op een voorbeeldje uit een boek. Gaat men daar niet de convergentie na op de rand (rode streep), men gebruikt daar toch ook de absolute waarde waarom is dat daar dan wel oké? Welk verschil is er tussen 2 oefeningen?

Daar gebruikt met de modulusstrepen omdat afschatten hier mogelijk is. Ze bewijzen de convergentie op de hele rand .

In jouw voorbeeld kun je niet afschatten. De situatie is hier veel penibeler. In het ene punt convergeert de reeks, in het andere punt weer niet.

[Bert F]

Oké ik begrijp het de methode in het uitgewerkt voorbeeld is niet zomaar te veralgemenen. Bedankt.

[Andy]

't is eerder iets van "als je met afschatten kan bewijzen dat het convergeert, dan convergeert het", maar 't is niet waar dat als je niet kan afschatten, je zeker een divergente reeks voor je neus hebt. 'k dacht dat ge best eerst eens probeerde af te schatten, als dat niet lukt, probeer je iets anders (zoals hier gedaan werd).