[wiskunde] meetkundige reeks

[PascalR]

Hallo allemaal,

Ik ben al een tijdje bezig met de volgende opgave maar kom er niet echt uit:

Bepaal door de meetkundige reeks herhaald te differentieren een reeks voor 1/((1-x)^n). Deze reeks geldt alleen voor |x|<1.

Heb al verschillende dingen geprobeerd bv door in de eerste afgeleide een substitutie toe te passen, maar door de quotiëntregel wordt de tweede afgeleide een erg grote breuk waar ik aanneem dat dingen tegen elkaar gaan wegvallen maar ik zie het nog niet. Iemand enig idee? Alvast bedankt!

Mvg Pascal

[Phys]

Bepaal door de meetkundige reeks herhaald te differentieren een reeks voor 1/((1-x)^n). Deze reeks geldt alleen voor |x|<1.

Moet dit zijn

\(\frac{1}{(1-x)^n}\)

?

In ieder geval, meetkundige reeks:

\(\sum x^n=\frac{1}{1-x}\)

1e afgeleide:

\(\sum nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\)

2e afgeleide:

\(\sum n(n-1)x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^3}\)

Zie je een patroon?

[Safe]

Begin eens met n=1, en daarna n=2. Misschien werkt dat verhelderend.

Opm: ik weet natuurlijk niet wat je al geprobeerd hebt!

[PascalR]

@Phys: inderdaad, bedankt

[Phys]

Maar lukt het nu wel denk je?

\\edit: ik zie dat je je bericht hebt aangepast, I'll take that as a yes

[PascalR]

denk het wel ja, had al het gevoel dat ik veel te moeilijk aan het differentiëren was.. ;p

[PascalR]

Maar lukt het nu wel denk je?

\\edit: ik zie dat je je bericht hebt aangepast, I'll take that as a yes

het is toch niet helemaal gelukt ( :-k ) is het nu de bedoeling dat ik de afgeleiden bepaal van de meetkundige reeks om dan vervolgens na het invullen van een waarde voor x uit die antwoorden een reeks te maken? of is iets heel anders de bedoeling :-k

[dirkwb]

het is toch niet helemaal gelukt ( ) is het nu de bedoeling dat ik de afgeleiden bepaal van de meetkundige reeks om dan vervolgens na het invullen van een waarde voor x uit die antwoorden een reeks te maken? of is iets heel anders de bedoeling :-k

Kijk goed naar Phys en Safe's posts. Als je de uitdrukking links differentieert moet je die rechts ook differentiëren. Als je de structuur ziet kan je dit generaliseren voor een willekeurige n. De reeks die je dan krijgt is je oplossing.

[PascalR]

ok, ik krijg dan het volgende: (even kijken of dat lukt met latex)

eerste afgeleide:

\(\frac{n(1-x)^{n-1}}{(1-x)^{2n}}\)

tweede afgeleide:

als ik nu voor x bijvoorbeeld 0.5 invul dan krijg ik voor n=1 de antwoorden 2,4,-16,...

[PascalR]

die tweede afgeleide was dus:

\(\frac{(n^2-n)^{n-2}-(n^2-n)x^{n-2}*(1-x)^{2n}-(2n-2nx)^{2n-1}*n^{n-1}-nx^{n-1}}{(1-x)^{4n^2}}\)

afgezien van het minteken zijn dit de eerste antwoorden uit de reeks x^2n, is dit waar ik naar op zoek was?

[dirkwb]

die tweede afgeleide was dus:

\(\frac{(n^2-n)^{n-2}-(n^2-n)x^{n-2}*(1-x)^{2n}-(2n-2nx)^{2n-1}*n^{n-1}-nx^{n-1}}{(1-x)^{4n^2}}\)

Volgens mij heb je niet echt een idee wat je aan het doen bent.

Dus opdracht 1 differentieer onderstaande uitdrukking (naar x dus) links en rechts.

\(\sum x^n=\frac{1}{1-x}\)

[PascalR]

Ok, dan krijg ik hetzelfde als wat Phys in zijn 1e reply zei, dat is duidelijk. Vervolgens?

[dirkwb]

Ok, dan krijg ik hetzelfde als wat Phys in zijn 1e reply zei, dat is duidelijk. Vervolgens?

Zie je een structuur? Zo niet nogmaals enkele keren differentiëren.

[PascalR]

heb nog 1x gedifferentieerd, als ik het goed heb gedaan wordt de teller steeds een faculteit groter voor elke macht die de noemer erbij krijgt, dus als het ware:

\(\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\)

[dirkwb]

Dat klopt, zie je nu wat de bedoeling is?