Relativiteitstheorie einstein

[Hakan_G]

L.S.,

Sinds kort is mijn school gestart met een project genaamd 'Wetenschapsoriëntatie". Het houdt in dat je zelf een onderzoek gaat starten en dat volgens het natuurwetenschappelijke 'stappenplan'. Wij moesten vanzelfsprekend een onderwerp kiezen, en ik koos samen met mijn groepje voor het onderwerp 'Tijdreizen'. Bij dit onderwerp komen allerlei onderwerpen aan bod. Zo ook de relativiteitstheorie van Einstein. Mijn vraag: kennen jullie boeken/websites e.d. waar ik deze theorie kan begrijpen? Ik zit pas in de vierde klas en daarom begrijp ik het artikel op Wikipedia bijvoorbeeld niet.

Hopende op reacties,

Hakan

[StrangeQuark]

Poeh Hakan, dat is best een ingewikkelde vraag die je daar stelt. Heb je al een beetje met de zoekfunctie gekeken naar de ondwerpen op dit forum. Er zijn al een hele hoop topics over relativiteit. Als je een iets duidelijkere vraag hebt, kunnen mensen je wat gerichter helpen. Boeken zijn er namelijk met heel veel insteken, en from scratch beginnen is best moeilijk.

[Victor]

"Einstein voor beginners".

Is heel beeldig en begrijpelijk uitgelegd op een grappige manier. Het is gemakkelijk en snel te lezen, en legt de relativiteit uit hoe deze ontstaan is...in stapjes en met experimenten...volgens de geschiedenislijn. En ja, voldoende diepgaand, maar begint echt vanaf 0! Succes!!

[Phys]

Hoe/of tijdreizen volgens de Relativiteitstheorie mogelijk is, is een erg complexe zaak. Ik denk dat dat nogal hooggegrepen is. Je zult eerst de hele SRT moeten bestuderen (wat al wat tijd kost), en je vervolgens richten op het tijdreis-aspect...

[StrangeQuark]

Dat is precies waar ik ook aan zat te denken. Het is sowieso handig en ook ontzettend leuk om eens een boek te kopen/lenen over relativiteit, heb ik ook heel veel gedaan. Het probleem van tijdreizen is dat het een moeilijk gevolg kan zijn uit relativiteits theorien. Zoals ik ook al eerder zei, als je aan kan geven waar je precies naar toe wil, kunnen mensen wellicht hier wat opzetjes geven voor waar je naar kan zoeken.

[Hakan_G]

Bedankt voor jullie reacties. :D Het gaat dus om het onderwerp 'Tijdreizen'. Ik las ergens dat de relativiteitstheorie daar ook mee te maken heeft en kennissen vertelden mij dat dat inderdaad zo is. Daarom wilde ik me in deze theorie verdiepen. Wat is dan onbelangrijk voor me? En waarom moet ik eerst de speciale relativiteitstheorie bestuderen? Wat is het verschil tussen de algemene en speciale relativiteitstheorie?

[da_doc]

De speciale rel. theorie is het gevolg van het feit dat de snelheid van een lichtstraal voor iedere waarnemer dezelfde waarde heeft, ongeacht de beweging van de waarnemers. Dat is heel raar, want voor normale voorwerpen is dat niet zo. Als een trein een perron met 100 km/uur passeert, en er staat een kopje koffie op een tafeltje in de trein, dan staat die koffie stil in de trein, terwijl het tov. het perron een snelheid van 100 km/uur heeft. Vanwege dat rare gedrag van licht moet de meting van ruimte- en tijdcoordinaten aangepast worden. Twee gebeurtenissen kunnen voor de ene waarnemer gelijktijdig zijn, terwijl ze dat voor een andere waarnemer niet zijn, etc.

De algemene rel. theorie gaat over zwaartekracht. Het idee is dat massa een kromming van de spacetime (4D) veroorzaakt, wat dan weer de beweging van andere objecten veroorzaakt. De aarde draait om de zon niet omdat de aarde door de zon aangetrokken wordt, maar omdat de aarde voelt dat de spacetime gekromd is, en die kromming wordt door de zon veroorzaakt.

De speciale theorie is wiskundig simpeler dan de algemene; de algemene werkt met differentiaalgeometrie, tensoren, etc.

Hier kun je meer vinden: http://www.freescience.info/Physics.php?id=456

[StrangeQuark]

Zoals ik al zie Hakan kijk even rond op dit forum, ik weet zeker dat ik verspreid in topics al antwoorden heb gegeven op al je vragen, maar ik zal het eens proberen hier.

De relativiteitstheorie van Albert Einstein kan je een beetje zien als de kosmische flitspaal. Waar premier Balkenende bezig is om ervoor te zorgen dat we op de snelwegen niet harder kunnen gaan dan 120km/h door middel van flitspalen zorgt de natuur er ook voor dat we niet harder kunnen gaan dan 300 000 km/s. De natuur pakt het echter een stuk slimmer aan. Wat ze doet is niet ervoor zorgen dat je een boete krijgt, maar ze zorgt ervoor dat in alles een soort begrenzer zit. Niets in het universum, jij niet, ik niet en niemand ooit zal harder gaan dan de snelheid van het licht (er zijn manieren om vals te spelen en dat is waar jouw tijdreizen voorbij komt). Hoe doet de natuur dat. De natuur past je snelheid aan en je gewicht.

Op het moment dat je bezig bent met steeds maar harder gaan, zorgt de natuur er slinks voor dat je klok steeds langzamer gaat lopen. Dus als jij in je auto gaat en bijvoorbeeld met 200 000 km/s weg rijdt van mij dan zal jouw klok nog maar op:

\(\sqrt{1-\frac{4}{9}}\)

van de snelheid gaan. Met andere woorden jouw fysieke tijd gaat trager. En dit is een zinnetje waar je even niet te snel overheen moet lezen, want dit is een ****. Alles gaat trager, we hebben het niet over een foutje in de meting ofzo, maar alles, de atomen bewegen trager, je spijsvertering gaat trager, je knipperen gaat trager, ALLES! Als jij in je auto zou kijken zou je niets merken, want immers ook je hersens gaan trager, en alle klokken die je kan gebruiken om een meting mee uit te voeren gaan trager. ALLES. Maar als je uit je auto naar mij zou kijken zou je zien dat ik heel erg snel op en neer loop, want mijn tijd, gaat relatief van jouw tijd sneller. Als ik kijk naar jou in de auto gaat alles heel erg traag.

Naast het feit dat tijd anders loopt (dit heet tijdsdilatie) zijn er ook nog andere dingen namelijk dat je auto zwaarder is geworden (dus eigenlijk alles, de atomen, jij, je vriendin, de auto, ALLES) waardoor je meer energie nodig hebt om vooruit te komen (daarom zullen we ook nooit, tenzij je valsspeelt, sneller dan het licht gaan, want om van 0.99% naar 0.999% ben je weer zoveel zwaarder geworden, dat je ontzettend veel meer energie nodig hebt om nog harder te gaan, en als je eindelijk bij 0.9999% bent, ben je nog veel zwaarder, en zodra je op de lichtsnelheid zit ben je oneindig zwaar, dus dat red je nooit, denk maar eens aan F=ma, waar m ineens oneindig zwaar wordt, moet jij eens bedenken hoeveel energie je nodig hebt om een versnelling voor elkaar te krijgen.) Daarnaast vindt er ook iets plaats als lengte contractie, waarin jij zal zien zodra je uit je auto raam kijkt dat ik veel dikker ben geworden en als ik naar jouw auto kijk zie ik dat die met dezelfde wortel van net dunner is geworden. Dit is heel belangrijk in de relativiteit, maar niet zo voor jouw verhaal.

Alles wat ik beschreven heb over de kosmische flitspaal en over je zwaarder, trager en dunner worden is dus een manier voor de natuur om te zorgen dat je nooit de lichtsnelheid zal benaderen. Voor nu is dat denk ik duidelijk genoeg om in die termen te denken. Dit is wat Albert Einstein in 1905 in het wonderjaar heeft opgeschreven en heeft bedacht en dit noemen we de speciale relativiteit. Waarom speciaal, nou omdat dit alleen geldt in het bijzondere geval dat er geen zwaartekracht in de buurt is. Nu zul je zeggen, maar dat kan toch helemaal niet, er is altijd massa en dus zwaartekracht in de buurt. Dat is wel zo, maar heb je je dan ook afgevraagd waarom je nog nooit iets relativistisch hebt gezien of gemerkt. Dat vindt pas plaats bij enorme snelheden, pas bij 200 000 km per SECONDE, gaat jouw tijd op ongeveer 75% van de snelheid, dus als er in jouw auto 3 secondes voorbij zijn, heb ik het gevoel (het is ook zo) dat er 4 secondes voorbij zijn. Datzelfde geldt voor zwaartekracht, je moet wel een ongelooflijke hoeveelheid hebben om het te merken. Als je niet in de buurt van de zon staat of in een zwart gat, of je reist niet met een achtelijke snelheid kan je met goede benadering de wetten van Newton blijven gebruiken, bedenk het zijn benaderingen.

Dan naar de algemene relativiteit. Die legt eigenlijk uit waar Newton heel wijselijk zijn bek heeft gehouden. Newton heeft wel de wetten van de zwaartekracht uiteen gezet en bedacht hoe het werkt met alle bewegingsvergelijkingen, maar hij nam de zwaartekracht gewoon aan. Hij vond dat die kracht er altijd was, in een keer aan de andere kant van het universum kan zijn (dus directe effecten, als de zon ophoudt met bestaan, vliegt de aarde instantaan weg van de zon, Einstein heeft aangetoond dat zwaartekracht met de snelheid van het licht gaat, dus als de zon er niet meer is, vliegen we pas 8 minuten later weg) en onverklaarbaar is. Hij accepteerde gewoon dat het er was. Einstein is iets verder gegaan en die heeft op een mooie manier een wiskundige aanpak gegeven om te laten zien hoe massa's tot zwaartekracht leiden. Dit is de algemene relativiteit en dat heeft Einstein 10 jaar gekost om die te bedenken, 10 jaar lang van 1905 tot 1915, elke dag voor 18 uur per dag eraan werken, 7 dagen per week, waarna hij ingestort is en een jaar moest rusten. Met alle respect, de wiskunde daarvan ga je niet begrijpen voordat je project afgelopen is. Daar heb je ongeveer 2 a 3 jaar aan wiskunde op de universiteit voor nodig ben ik bang (wellicht dat je hyper intelligent bent en dan ben ik heftig onder de indruk, echt het is geen desrespect). Ik kan je wel het verhaal erachter vertellen.

Om de algemene relativiteit uit te leggen, moet je even denken aan een fijne zaterdag middag op een terrasje in de zomer in de stad waar je aan je biertje zit. Twee lieveheersbeestjes lopen over de tafel naar elkaar toe. Op een gegeven moment komen ze echter je bierflesje tegen. Beide lieveheersbeestjes, elk aan een kant, beginnen naar boven te klimmen. Eigenlijk hebben die lieveheersbeestjes niet ervoor gekozen om niet meer naar elkaar toe te lopen en om parallel naar boven te gaan. De tafel, en het flesje, zorgden ervoor dat de lieveheersbeestjes dat gingen doen. Het is de ruimte om de beestjes heen die ervoor zorgde dat ze een bocht gingen maken en van naar elkaar toelopen naar parallel naast elkaar naar boven lopen. Dat deed de ruimte niet de lieveheersbeestjes, als je het flesje niet in hun pad had gezet, waren die beestjes tegen elkaar aangelopen. Dus zie je hoe de ruimte om hen heen zorgde voor een richtings wisseling. Nou Newton zei dat een deeltje gewoon rechtdoor blijft vliegen tenzij het een kracht ondervindt. F=ma. Een kracht kan voor een richtingsverandering zorgen, anders doet een deeltje dat niet. Dus Einstein bedacht dat als de ruimte een richtingsverandering mee kan geven, wat eigenlijk dus een kracht is volgens Newton, dan is de duwende ruimte ook een kracht te noemen. (DIt is een belangrijke zin) En wellicht dat die ruimte duwing het gevoel van zwaartekracht geeft. Dus massa's buigen en vervormen de ruimte, en die zorgt ervoor dat andere massa's daardoor een andere route volgen.

Een bekende metafoor is een trampoline. Stel je voor dat je knikkers van de ene kant naar de andere kant van de trampoline schiet. Op het moment dat de knikkers over het vel heen gaan, gaan ze in een rechte lijn door tot de andere kant en vallen ze er daar af. STel je nou voor dat je de ruimte weer gaat buigen door er een bowlingbal in te leggen. Die bowlingbal zorgt voor een buiging van het trampoline vel, en als je nu knikkers in de buurt van die put over de trampoline heen laat rollen, zullen ze naarmate je dat dichter bij debowling bal doet steeds meer een gekromde baan maken. Tot het moment dat de knikkers vast zitten in de kuil veroorzaakt door de bowlingbal dat ze maar rond blijven draaien.

Een zwart gat heeft zo ontzettend veel massa op een klein vollume dat het zo ontzettend de ruimte buigt, dat de ruimte als het ware scheurt. DE bowlingbal is zo ontzettend zwaar dat er een gat ontstaat in het trampoline vel, en alle knikkers rollen in dat gat en kunnen nooit meer eruit komen, want er zit een gat in.

Dus nu weet je wat algemene relativiteit is (zie ook de minicursus, maar dat is vrij wiskundig), wat de speciale relativiteit is, wat tijdsdilatie is en ruimte contractie. Verder zie je ook hoe je van energie in snelheid ook iets met massa doet, dus na een flinke omleiding zou je ook nog eens op de bekendste formule ooit kunnen komen E=mc2, maar dat ga ik nu niet doen.

De simpelste manier om tijd te reizen is door gewoon in een auto te gaan zitten. Op het moment dat je in een auto zit, dan worden alle mensen die niet in een auto zitten sneller oud dan jij. Ga maar na, jouw tijd gaat langzamer, dus in een HEEL extreem geval, gaat er voor jou een dag voorbij (je bent een dag ouder) en dan gaat er voor mij 20 jaar voorbij (ik ben 20 jaar ouder nu), dat geld dus voor iedereen die stil staat. Het lijkt dus alsof je 19 jaar en 364 dagen in de toekomst bent gereist. Waarom niet, immers iedereen ie je kent is 20 jaar verder, je kinderen zijn 20 jaar ouder, de aarde is 20 jaar ouder, de grondstoffen zijn 20 jaar opper, de CO2 uitstoot is 20 jaar verder. Volgens mij ben je dan in de toekomst gereist. Reken maar eens uit hoeveel het uitmaakt met een autorit, dit is de formule:

\(\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\)

Hier is dus je snelheid de v (bijvoorbeeld in meters per seconde, je zou 30m/s kunnen nemen) en c is de lichtsnelheid en die is constant dus 300 000 000 m/s, dus als je het voor die autorit uitrekend zie je waarom je nog nooit iets met relativiteit van doen hebt gehad.

\(\sqrt{1-\frac{30^{2}}{300000000^{2}}}\)

\(\sqrt{1-0,00000000000001}\)

\(=0,9999999\)

Een moeilijkere manier om door de tijd te reizen is met een wormhole. Een wormhole is effectief een kortere route door de ruimte en de tijd, je snijdt een stukje af. Dit is heel moeilijk voor te stellen (onmogelijk), maar kan je een beetje zien als dat je een landkaart pakt, en de kortste route zoekt tussen Utrecht en Amsterdam. Jij zou waarschijnlijk een rechte lijn neerzetten, ik zou echter de landkaart dubbelvouwen zodat Utrecht en Amsterdam boven elkaar liggen en dan met een potlood door het papier heen steken. Dan heb je een potlood door zowel Amsterdam als Utrecht heen, de kortste route is dan nog maar millimeters. Dat kan je ook door de tijd doen, maar dat is helemaal niet meer voor te stellen.

zie bijvoorbeeld http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Worm3.jpg van de wikipedia (en.wikipedia.org/wiki/Time_Travel heb je in godsnaam toch wel geprobeerd toch?)

Een andere oplossing van de Algemene relativiteitstheorie gaat om een draaiende cilinder die eigenlijk oneindig lang moet zijn. Doordat de cilinder draait wordt de ruimte eromheen een beetje meegezogen in de beweging. Als je dan zelf om de cilinder heen vliegt dan kan je terug in de tijd reizen. Dit is echter absoluut onmogelijk vanwege de krachten en de snelheden die nodig zijn. Iemand heeft ook vervolgens bedacht dat als je nou een atoom neemt, die uitrekt door een hele sterke magneet ofzo, dat je dan ook een draaiende cilinder kan maken en misschien zouden we zo met de toekomst kunnen praten, maar dat is ernstig speculatief.

Maar heb je wel die wiki pagina gelezen over time travel, ik heb die zelf ook een paar jaar geleden gelezen en hij is echt best ok. Anywho, ik hoop dat je dit wat helpt, er is echt meer op het forum, maar dan moet je zelf maar daar energie in gaan steken, volgens mij heb ik je nu genoeg uitgelegd en er zelf genoeg energie in gestoken. Sommige van deze metaforen zijn door mijzelf bedacht, je mag ze zeker gebruiken, maar wellicht een bronvermelding zou leuk zijn.

Was dit behulpzaam? :D

[E.Desart]

Was dit behulpzaam? :D

StrangeQuark,

Ik ben echt onder de indruk van de wijze waarop jij dingen kan uiteenzetten, het respect/warmte voor anderen dat ik tussen de regels lees, de nauwkeurigheid, echtheid en tegelijk zelfrelativering.

Ik wou dat ik het ook kon/had ......

Eric

.

[da_doc]

StrangeQuark zegt "Op het moment dat je bezig bent met steeds maar harder gaan, zorgt de natuur er slinks voor dat je klok steeds langzamer gaat lopen." Langzamer ten opzichte van wat? Dit is een misleidende manier om de spec. theorie uit te leggen. Iets dat een snelheid heeft tov mijn inertiaalstelsel heeft vanuit mijn stelsel gezien een langzamere klok. Daarom leeft een kosmisch deeltjes(b.v. een muon) dat onze atmosfeer binnenflitst een langere levensduur op onze klok dan hetzelfde deeltje dat met lagere energie in het lab wordt geproduceerd.

Aan het eind van de 19e eeuw waren er pogingen om variaties in de lichtsnelheid te meten. Electromagnetische golven moeten een medium hebben waarin de golven optreden, net zoals geluid een golf in het medium lucht optreedt. Voor de EM golven heette dat de ether. Die pogingen leverden niets op. Einstein was in dat soort dingen simpel: OK, dan is er dus geen ether, en de snelheid van het licht (in vacuum) heeft voor iedereen dezelfde waarde. Daaruit volgt de hele speciale theorie. Wat ook heel grappig was, is dat de Maxwell vergelijkingen (rond 1870 of zo neergeschreven) al relativistisch bleken te zijn. Lorentz had al opgemerkt dat de Maxwell vergelijkingen niet invariant zijn onder Galilei transformaties, en daarom is er wel geargumenteerd, dat Einstein eigenlijk niet zoveel nieuws te melden had met de speciale theorie, maar goed, dat is gekissebis. In de speciale theorie gebruik je de Lorentztransformatie om van het ene systeem naar het andere over te stappen. De Lorentztransformatie bestond al eind 19e eeuw, dus eerder dan 1905, is dat niet grappig?

[StrangeQuark]

Dit is volgens mij helemaal niet hoe Einstein tot die conclusies kwam. Hij was helemaal niet bezig met experimenten van Michelson en Morley, waar hij mee bezig was sinds zijn 12e wsa bedenken hoe een stilstaande golf eruit ziet en verder met het idee dat een experiment exact hetzelfde moet zijn ongeacht je snelheid. Dus bolgolven moeten ook weer bolgolven zijn. Hij ontdekte dat de standaard gallileo transformatie niet werkt en de bolgolven van vorm gingen veranderen. Dus dat de experimenten snelheid afhankelijk werden. Dat vondt hij niet kunnen, dus bedacht hij dat er een nieuwe transformatie moest komen. Die leek heel erg op de Lorentz transformatie en was een van de eerste orde, simpelweg omdat dat erg makkelijk was, en volgens mij waren er nog wat andere aanwijzingen die die kant op wezen, maar het was niet zo noodzakelijk.

Dus Maxwell toonde aan dat licht altijd een standaard snelheid heeft ten opzichte van elk inertiaal stelsel, dit deed hij vanuit de golfvegelijkingen. Einstein vond dat experimenten en dus ook licht bolgolven hetzelfde moesten zijn, dus moest er een nieuwe transformatie komen, eentje die de Nederlander Lorentz eerder ook al had bedacht, maar om iets andere redenen. Lorentz heeft toegegeven dat hij nooit de implicaties inzag die Einstein hieruit haalde.

Volgens mij was dat hoe het gegaan is.

[da_doc]

Ik heb de Aula vertaling (1978) "Relativiteit; speciale en algemene theorie" door A. Einstein. In par. 5 legt hij het relativiteitsprincipe uit: "Als C' ten opzichte van C eenparig en zonder rotatie beweegt, dan verlopen de natuurprocesen ten opzichte van C' volgens precies dezelfde algemene wetten als ten opzichte van C. Deze uitspraak noemen we het relativiteitsprincipe". Einstein legt dan uit dat dit soort relativiteit in de mechanica van Newton optreedt. In par. 7 legt hij dan uit dat de Nederlandse astronoom de Sitter uit waarnemingen aan dubbelsterren concludeerde dat de voortplantinssnelheid van licht niet kan afhangen van de bewegingssnelheid van het licht uitstralende lichaam, wat in strijd lijkt met het bekende Newtoniaanse relativiteitsprincipe. Een oplossing had kunnen zijn om de wet van de lichtvoortplanting in vacuum aan te passen. "De ontwikkeling van de theoretische natuurkunde toonde evenwel aan dat we deze weg niet kunnen volgen. Het baanbrekende onderzoek van H.A. Lorentz naar de electrodynamische en optische procesen in bewegende lichamen toonde namelijk aan dat de ervaringen in deze gebieden noodzakelijkerwijs leiden tot een theorie van de elektromagnetische processen waarin de wet van de onveranderlijkheid van de lichtsnelheid een onvermijdelijke conclusie is. Daarom waren de prominente fysici eerder geneigd het relativiteitsprincipe te laten varen, hoewel er geen ervaringsfeiten waren gevonden die in strijd waren met dit principe. Op dat ogenblik verscheen de relativiteitstheorie." (bold door mij).

Einstein trok dus de juiste conclusie: het relativiteitsprincipe werd consisent gemaakt met de onveranderlijkheid van de lichtsnelheid in vacuum.

[Hakan_G]

Mijn excuses voor de ietwat late reactie, maar ik wil jullie heel erg bedanken! StrangeQuark al helemaal. :D Ik zal het uiteenzetten op een blaadje en het met mijn groepsgenoten bespreken (zij lezen dit trouwens ook door). Maar ik heb een klein vraagje:

"Reken maar eens uit hoeveel het uitmaakt met een autorit, dit is de formule: (formule) [...] (uitkomst)"

Wat is de eenheid van die uitkomst dan? Gewoon seconde(n)?

En:

Hoe zijn ze aan die formule gekomen? Of is dat te wiskundig?

[StrangeQuark]

Goede vraag Hakan. Dat had ik duidelijker moeten vertellen. Deze formule:

\(\gamma=\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)

is denk ik het beste te zien als een proportionaliteits constante. Proportie betekent zoveel als een verhouding. Van nature voeren we de godganze dag de Gallileaanse transformaties uit. Namelijk als ik met 20m/s op jou af kom rijden en jij rijdt met 30 m/s op mij af dan is de snelheid waarmee we naar elkaar toerijden zo'n 50m/s. Simpel snelheden optellen. Als jij op mij af komt rijden met 30m/s terwijl ik stil sta, en jij gooit ook nog eens een tennisbal met 10m/s op mij af, dan weet ik dat de tennisbal met 40m/s op mij af komt vliegen. Simpel optellen en aftrekken van snelheden.

Echter dit gaat niet meer als je op grote snelheden gaat reizen, want wat is nu het rare, licht komt altijd, let op ALTIJD, met dezelfde snelheid op je af. En daar moet je even bij stil staan. Stel je voor dat jij op mij af komt rijden met 200 000km/s en met een zaklamp op mij schijnt. Dan zou je kunnen denken dat het licht met 300 000 + 200 000 km/s op mij af moet komen en dus met 500 000 km/s. MAar dit is dus niet waar! Het licht komt net zo hard op mij af, als jij met 200 000km/s naar mij TOE rijdt, dan als je met 200 000km/s van mij AF rijdt. En dat is een ****, en als je die niet zo voelt, heb je het wellicht nog niet goed begrepen. :D Bedenk maar eens dat als wij een tennisbal overgooien dat die bal altijd met dezelfde snelheid bij mij uit zou moeten komen, of jij nou achteruit loopt, stilstaat of vooruit loopt. Dat is erg vreemd.

Hier kan je misschien wel uithalen dat je niet zomaar snelheden bij elkaar kan optellen als je op een flinke snelheid zit. Op onze normale snelheden kan dat prima, omdat dat niet in verhouding staat, maar alles wordt op hoge snelheden aangepast (de kosmische flitspaal) om er maar voor te zorgen dat wij het altijd eens zullen zijn over de snelheid van het licht.

Dus lengte wordt geschaald met die \(\gamma\) (genaamd lengte contractie of Lorentz contractie naar een Nederlander genaamd Lorentz), massa wordt geschaald met \(\gamma\) en ook tijd wordt geschaald met \(\gamma\). Lekker makkelijk. Dus als je wilt weten hoeveel trager de tijd gaat, van een auto die 200 000km/s gaat, dan moet je dat invullen in de gamma en dan komt er iets van rond de 75 procent uit. Zoveel trager gaat dus je klok. Zoveel korter wordt dus ook je meetlat en je wordt geloof ik \(\frac{1}{\gamma}\) zwaarder.

Ik zal eens kijken of ik de formule eens kan laten zien hoe je daar aan komt, maar ik ga nu koken want mijn vriendin heeft honger. :P Ik hoop vanavond.

[StrangeQuark]

Goed waar komt het verhaal van de tijdsdilatie nu eigenlijk vandaan. Ik denk dat je het beste een bekend voorbeeld kan gebruiken en die zelf gaan afleiden. Probleem is dat ik niet jullie alles wil voorzeggen, dat is niet om een muts uit te hangen, maar dat is meer omdat jullie anders niet iets leuks wiskundigs kunnen doen voor jullie opdracht. Ik kan het helemaal voor gaan doen, maar wellicht vinden jullie het leuk om met overleg in de voetsporen van Einstein te treden zelf die formule af te leiden. Dat is toch gaaf. Ongetwijfeld dat hij ook al 100 000 keer op internet staat uitgelegd, maar wellicht dat jullie hier iets mee kunnen.

Waar het allemaal mee begint is met de aanname dat licht voor alle observatoren (mensen die aan het kijken zijn naar een verschijnsel, zij kunnen 'stilstaan' of 'bewegen', maar nooit versnellen in de speciale relativiteit. De reden dat ik aanhalingstekens gebruik is omdat het nu juist niet mogelijk is om te zeggen of iemand stilstaat of niet.) altijd met dezelfde snelheid moet gaan. Denk aan mijn vorig post. Stel je nu eens voor dat we een klok zouden maken. Wat is eigenlijk een klok in essentie. Een klok telt hoe vaak een repeterende gebeurtenis voorkomt. Dus van de ouderwetse pendulumklok tot de pulsar klok en de atoomklok bestaat een klok uit twee delen. Je hebt een ding dat metingen doet (aantal keren dat een slinger heen en weer gaat, het aantal keer dat een pulsar rond draait en knippert of iets met Cesium en radiogolven (is erg ingewikkeld en niet nuttig voor ons verhaal)) en een stuk dat telt (slinger gaat 60x per minuut heen en weer en vormt dus secondes, een pulsar knippert heel regelmatig afhankelijk van de pulsar een aantal keer per seconde, een atoomklok kan de seconde op iets van een 9 miljardste nauwkeurig tellen).

Laten we nu eens een rare klok gaan maken. We maken een klok die bestaat uit twee perfecte en evenwijdige spiegels. Een perfecte spiegel bestaat in het echt niet (een cynicus zou zeggen dat niets perfect is in deze wereld), maar wat die doet is al het licht wat erop valt weerkaatsen, dus elk foton wat erop komt wordt weerkaatst. Wat we nu gaan doen is een foton tussen de twee spiegels heen en weer laten kaatsen. En elke keer als het foton een spiegel raakt, laten we een tellertje een tik geven. We tellen het aantal tikken en presto je hebt een klok.

Wat we dus nu zien is het volgende:

relativiteit_1

(4.87 KiB) 1510 keer gedownload

Een klein foton vliegt op en neer tegen de spiegels aan en stel je nou voor (kan natuurlijk nooit, maar is makkelijk voor het gevoel) dat elke seconde een foton tegen een spiegel aan komt. Als het goed is weet je dan hoe ver die spiegels uit elkaar staan. Je weet dus nu dat een foton er een seconde over doet om van de ene spiegel en naar de andere te komen. Je weet hoe hard het foton gaat, dus weet je ook hoever de spiegels uit elkaar staan. Volgens de andere aanname van Einstein, moeten de natuurwetten geldig zijn in elk referentiekader (in elke situatie of je nu stil staat of in beweging bent), intuitief is dat ook logisch. Als je in de auto een bal laat vallen, valt hij naar beneden, op dezelfde manier als dat thuis in de woonkamer zou gebueren.

Dus als we naar de spiegel kijken zien we een foton op en neer gaan. Als jij nu die spiegel meeneemt in je auto en mij achterlaat, dan zie jij in de auto nog steeds een foton op en neer gaan, maar ik zie het foton op en neer gaan terwijl jij met je auto voobij rijdt. Oftewel denk goed na wat ik zie. Ik zie niet meer een recht lijn, maar een zichzag. Denk hier rustig over na, waarom dat is.

relativiteit2

(7.22 KiB) 1508 keer gedownload

In het geval van het plaatje, gaat het foton nog altijd op en neer, maar gaat de auto rechts aan mij voorbij. Ik zie de auto dus met jou en de klok voor mij langs rijden terwijl ik stil langs de weg sta en ik zie hem vanuit mijn linkerooghoek naar rechts rijden.

En nu komt de crux van het hele verhaal. Wat weet je over een driehoek? De Stelling van Pythagoras. De schuine zijde is langer dan de rechter zijde. Dus de afstand die het foton aflegt zoals ik hem zie in jouw auto is langer dan de afstand die het foton voor jouw gevoel aflegt. Met andere woorden ik zie het foton schuine bewegingen maken in dezelfde tijd als jij hem op en neer ziet bewegen. Maar we waren het er toch over eens dat de snelheid van het licht constant moet zijn onafhankelijk hoe snel we gaan. En hier in deze alinea is dus een mooie reden waarom er tijddilatie is. Jij ziet een foton op en neer gaan, ik zie hem schuin gaan en een langere afstand afleggen in dezelfde tijdsinterval. Dat kan niet want in jouw geval gaat het foton langzamer dan in mijn geval. Ofwel er moet een oplossing komen, en dat is er in de vorm van dat jouw tijd trager gaat dan de mijne (lengte contractie heb je hier geen last van omdat de beweging van het foton haaks staat op de beweging van de auto, als de auto in de lucht zou vliegen, zouden de spiegels ook op een andere afstand van elkaar staan, maar dat is wellicht een ander verhaal, kan je trouwens ook op deze manier berekenen).

Laten we dan nu eens voor de wiskunde gaan. Wat Einstein wilde weten, was hoe je een Gallileaanse transformatie (zie vorige post) kan doen maar dan eentje die kloppend is met relativistische verschijnselen. Hij wilde dus weten hoe het tijdsverloop voor mij (de stilstaande) genaamd t\(\dagger\) (t met een zwaardje als tijdverloop voor de stilstaande observator) eruit ziet, in verhouding tot jouw tijd, genaamd t. Hij zocht dus naar een uitdrukking die er zo uitzag:

\(t=\gamma \cdot t\dagger\)

Dus Einstein wilde met een simpele vermenigvuldiging een getal vinden wat ervoor zou kunnen zorgen dat het tijdverloop van de 'stilstaande' en het langzamer gaande tijdverloop van de 'bewegende' observator met elkaar verbonden konden worden. Zodat we het altijd eens kunnen worden over het foton en ik weet hoe laat het is op jouw horloge en jij kan berekenen hoe laat het is op mijn horloge. Maar ja hoe zag die \(\gamma\) er dan uit???

Om te beginnen gaan we even de klok wat strippen naar de essentielen. We gaan kijken naar jouw situatie (de situatie van de meereizende observator) Je hebt een foton die een afstand genaamd 'a' aflegt (de afstand tussen de spiegels), en je weet hoe snel een foton gaat (namelijk snelheid 'c'). Vandaar kan je berekenen hoe lang het foton voor jou erover doet. Namelijk de tijd die je erover doet om van Amsterdam naar Utrecht (laten we zeggen 50km) te gaan als je 100km/h reist is 50km gedeeld 100km per uur is een half uur.

\(t=\frac{c}{d}=\frac{km/h}{km}=h=t\)

Overtuig jezelf dat dit duidelijk is!

Dan gaan we nu even kijken naar een tekening van beide situaties.

relativiteit4

(15 KiB) 1508 keer gedownload

Links zie je de klok zoals jij hem ziet, rechts de klok zoals ik hem zie terwijl hij voorbij raast. Jij ziet dat de afstand a van het foton in t overbrugt wordt. Ik zie dat de afstand \(a\dagger\) in tijd \(t\dagger\) overbrugd wordt.

Nu is aan jullie de volgende vraag:

Maak een uitdrukking voor \(t\dagger\) voor de tijd die ik als stilstaande observator meet voor het afleggen van afstand \(a\dagger\). Je krijgt dan een uitdrukking voor \(t\dagger\) met aan de andere kant van het = teken ook nog een afstand die je kan omschrijven naar een snelheid en een tijd (denk aan je eigen referentie kader). Je hebt dan een uitdrukkig met beide referentie kaders en dan kan je alles naar een kant halen, en dan krijg je de uitdrukking voor \(\gamma\)

Dus ik snap dat het moeilijk is, en ik kan je alles haarfijn uitleggen of jullie hints geven als je niet verder komt. Doe me alleen wel een lol en ga het niet opzoeken op internet, want dit is het moment voor jullie om in de voetsporen te treden van Einstein die met deze overwegingen (niet de klok, maar wel met dit soort geometrische overwegingen) tot de speciale relativiteit is gekomen.

Als je vragen hebt, let me know.

Succes.

PS Belangrijk voor copyright etc. Ik heb dit met die spiegels niet zelf bedacht. Eerlijk gezegd weet ik niet exact wie het eerste was.