Een exacte inverse is expliciet niet te geven.
Ik kan wel een benadering geven van $x$ als functie van $y$:
\(f(x) = \frac {e^x}{x}\)
is een strikt stijgende functie op
\([1,\infty)\)
(dit is makkelijk te controleren door een functieonderzoek) en
\(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\)
.
Dus
\(yx = e^x\)
heeft precies één oplossing voor grote
\(y\)
.
Nu is
\(x = \log(y) + \log(x)\)
.
Als
\(x > 1\)
dan is
\(x > \log(y) > 2\)
voor
\(y\)
groot genoeg.
Dus vanaf nu zullen we veronderstellen dat
\(x > 2\)
.
Dan is
\(\log(x) < \frac12 x\)
en
\(x = \log(y) + \log(x) < \log(y) + \frac12 x\)
.
Dan is
\(\frac12 x < \log(y)\)
en
\(\log(x) < \log(2) + \log(\log(y))\)
.
Nu hebben we
\(x = \log(y) + \log(x) = \log(y) + O(\log(\log(y))\)
.
Neem logaritmes aan beide zijden:
\(\log(x) = \log( \log(y) + O(\log(\log(y))) = \log(\log(y)) + \log(1 + O(\frac {\log(\log(y))}{\log(y)}))\)
\(= \log(\log(y)) + O(\frac {\log(\log(y))}{\log(y)})\)
.
Substituteer dit resultaat in
\(x = \log(y) + \log(x)\)
.
\(x = \log(y) + \log(x) = \log(y) + \log(\log(y)) + O(\frac {\log(\log(y))}{\log(y)})\)
.