[wiskunde] stelling van green

[Amon]

Dag allemaal, allereerst een gelukkig nieuwjaar toegewenst!

Mijn opdracht is:

Verifieer de stelling van Green voor het schijfje begrensd door de cirkel x^2+y^2 =R^2 en de functies P(x,y)=xy^2 en Q(x,y)=-yx^2.

Stelling van Green

\(\int P dx +Q dy = \iint (dQ/dx - dP/dy) dA\)

Nu wilde ik ze allebei apart berekenen en laten zien dat ze hetzelfde zijn.

Voor de linkerintegraal heb ik de parametrisatie:

\( x= r \cos t y= r \sin t t \epsilon [0,2\pi]\)

De grenzen zijn dan 0 en 2pi

Ingevuld volgt dan:

\(\int -R^4\cos t \sin³ t dt – R^4\sin t \cos³ t dt \)

(tussen dt en R^4 hoort een - maar latex toont die niet

Met mathematica is de primitieve:

\(-R^4/4 \sin^4 t + R^4/4 \cos^4 t \)

Dit levert met de grenzen 0 en 2pi: 0

En nu wil ik dan de andere uitrekenen

\(\iint (dQ/dx - dP/dy) dA\)

Ten eerste is dQ/dx = -2xy

en is dP/dy = 2xy

Dat levert de volgende integraal:

\(\iint -4xy dA\)

Maar hoe nu verder, wat moet ik als grenzen invullen?

Is het handig om nu weer dezelfde parametrisatie te gebruiken en dan dA te vervangen door r dr dt ?

Is de uitwerking van de eerste integraal overigens correct gedaan?

Alvast bedankt voor jullie tijd!

[jhnbk]

Schrijf je grenzen in functie van die oppervlakte.

[Amon]

Ik snap niet wat je daar mee bedoelt. Als ik dA zou vervangen door dy dx, zou ik dan als grenzen in kunnen vullen: -r en r (voor x) en -sqrt(r²-x²) en sqrt (r²-x²) (voor y)?

[da_doc]

Hoef je niet uit te rekenen: het volgt uit de symmetrie dat de integraal nul is: gewoon de schijf in de vier kwadranten splitsen. In het 1e en 3e kwadrant is xy positief, in het 2e en 4e negatief. Klaar.

[jhnbk]

A is het oppervlakte van de cirkel; dus moet je de dubbele integraal met de grenzen voor die cirkel opstellen. Intuïtief kan je direct het antwoord weten.

[TD]

Maar hoe nu verder, wat moet ik als grenzen invullen?

Is het handig om nu weer dezelfde parametrisatie te gebruiken en dan dA te vervangen door r dr dt ?

Dat is handig ja: als je de integraal echt wil uitrekenen, is het weer eenvoudig in poolcoördinaten.