[wiskunde] minimum mbv multiplicatoren van lagrange

[Amon]

Hallo,

In een oud tentamen kwam ik de volgende vraag tegen:

Vind met behulp van de multiplicatoren van Lagrange het minimum van de functie

g(x, y, z) = 2xy + 2yz + xz

onder de voorwaarden dat xyz = 4.

Ik heb deze als volgt proberen op te lossen:

xyz=4 noem ik f(x,y,z)

grad g - µ grad f = 0 (multiplicatoren)

Dit levert:

2y+z - µyz = 0

2x+2z - µxz = 0

2y+x - µxy = 0

Nu wil ik bijv. x en y uitdrukken in y, zodat ik xyz=4 kan oplossen en zo het minimum kan bepalen... maar het lukt me niet om dit echt zo uit te drukken. Iemand die kan helpen? Alvast bedankt.

[Drieske]

Hey,

Je kan in de 3 vgl z vervangen door

\(\frac{4}{xy}\)

; dit geeft dan:

\(\left\{ \begin{array}{l}2y + \frac{4}{xy} - \mu y \frac{4}{xy} = 0\\ 2x + 2 \frac{4}{xy} - \mu x \frac{4}{xy} = 0\\ 2y + x - \mu xy = 0\end{array} \right.\)

Uitwerken geeft:

\(\left\{ \begin{array}{l}y + \frac{2}{xy} - \mu \frac{2}{x} = 0\\ x + \frac{4}{xy} - \mu \frac{2}{y} = 0\\ 2y + x - \mu xy = 0\end{array} \right.\)

Uit deze 3 vgl halen we nu

\(\mu\)

:

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( y + \frac{2}{xy} \right) \frac{x}{2} = \mu\\ \left( x + \frac{4}{xy} \right) \frac{y}{2} = \mu \\ \frac{2y + x}{xy} = \mu\end{array} \right.\)

Nu kun je vgl1 gelijkstellen aan 2, en 2 aan 3 en heb je dus 2 vgl met 2 onbekenden, x en y. En zo heb je ook rap z

PS mss is er een rappere methode maar zie niet zo meteen