0/0

[FlorianK]

\(a^2-a^2=a^2-a^2\)

\(a(a-a)=(a+a)(a-a)\)

Deze stap snap ik niet. Misschien dat je een foutje hebt gemaakt? Maar links ben je nog wel goed bezig:

\(a^2-a^2=a(a-a)\)

Maar aan de rechter kant van de x zeg je:

\(a^2-a^2=(a+a)(a-a)\)

. En ik dacht toch echt dat

\((a+a)(a-a)=(a*a)+(a*-a)+(a*a)+(a*-a)=a^2-a^2+a^2-a^2=2a^2-2a^2/neq a^2-a^2\)

[Schwartz]

Jantje eet 100 pruimen verdeelt over 100 keer: resultaat ((100/100)-1) of (1-1) buikpijn.

(jantje bekomt van 2 pruimen per keer al buikpijn)

Jantje eet 100 pruimen verdeelt over 1 keer: resultaat ((100/1)-1) of (100-1) buikpijn.

Jantje heeft 100 pruimen en eet ze niet meer: resultaat (100/0)-1 keer buikpijn.

Resultaat is bij de laatste vreemd maar jantje kan geen buikpijn bekomen als hij ze niet eet.

En een negatieve buikpijn is geen buikpijn maar eerder een goed gevoel....

Bij computerprogrammering kom ik nog al eens zulke zaken tegen waarbij er een deling door 0 aanwezig kan zijn.

Hoeveel bytes hebben files gemiddeld als men geen enkele file kan laden doordat de harddisk het begeven heeft?

0 of nil?

Nil is de betere oplossing maar een longint of een int64 getal in pascal heeft geen NIL aanduiding.

(wel een pointer)

Logisch bezien is 1/0=nil.

Maar nil kan men als een 0 voorstellen omdat nil buikpijn idem is aan 0 buikpijn.

In een database zoals excell heeft men ook deze nil zodat de delingen door nul niet tot het stoppen van een calculatie geeft.

Het gemiddelde verbruik per kilometer is een waarde als men rijdt, maar als men de auto stil laat staan met draaiende motor dan heeft men wel verbruik maar per definitie geen kilometers: dus nil.

Ook dit is een mooie:

in pascal geeft random(10) geeft een toevalsgetal tussen 0 en 9.

repeat;

x:=random(10)/random(1000000000);

until x=0;

zonder een foutafhandeling heeft men een kleine kans dat de zaak vastloopt.

[EvilBro]

@FlorianK:

\((a+a)(a-a)=(a*a)+(a*-a)+(a*a)+(a*-a)=a^2-a^2+a^2-a^2\)

met

\(a^2 - a^2 = 0 \rightarrow a^2-a^2+a^2-a^2 = a^2-a^2\)

Wat je ook zou kunnen doen is beginnen met:

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)

en dan b vervangen door a om zo te laten zien dat het wel moet kloppen.

[FlorianK]

En om nog te reageren op de vrij pittige discussie hierboven... Wetenschap bestaat toch uit het verklaren van dingen, door de meest logische reden ervoor aan te nemen? Bestaat er iets dat te bewijzen valt? Valt een baksteen naar beneden, als je hem van een hoogte loslaat? Ja. Maar hoe weet je dat zo zeker? Omdat het nog nooit anders is geweest. En het tegendeel; dat een baksteen omhoog kan vallen, is nooit bewezen. Is het daarom een feit dat een baksteen naar beneden valt? Ja toch? Want het is volgens natuurkundige wetten aangetoont... Nee. Die wetten zijn niet bewezen. Ja, oké... Ze zijn proefondervindelijk bewezen. Van alle 9.000.000.000 proeven die gedaan zijn, is steeds de baksteen naar beneden gevallen. Is dat in feite een bewijs? Nee toch?

Is dat niet net zo bij de wiskunde? Het 'feit' dat 1+1 2 is, is toch maar een aanname? Het is aangenomen, omdat het ontzettend praktisch bleek te zijn, als het zo is. Kun je bewijzen dat 1+1=2? Nee... Het is in prinicipe een feit, omdat het het meest logische is van alle mogelijke antwoorden.

Ik wilde eigenlijk nog iets zeggen over dat iets tot de macht 0 niet uitgerekend kan worden, maar alleen wordt aangenomen dat het 1 is, omdat dat precies in het midden staat, tussen ^1 en ^-1.... Maar dat doe ik niet: Ik ga een biertje pakken.

[EvilBro]

Is dat niet net zo bij de wiskunde?

Nee. Wiskunde is een bedacht concept. Het is niet iets dat in de natuur voorkomt en daar bestudeerd kan worden. 1+1=2 omdat we dat nu eenmaal besloten hebben (per definitie dus). Er is echter geen enkel probleem om een vorm van wiskunde te verzinnen waarin dit niet geldt (bijvoorbeeld door een vorm te nemen waarin additie niet bestaat).

Ik wilde eigenlijk nog iets zeggen over dat iets tot de macht 0 niet uitgerekend kan worden, maar alleen wordt aangenomen dat het 1 is

Dit wordt niet aangenomen dat dit zo is. Dit wordt zo gesteld.

[FlorianK]

Maar ik bedoel: Kun je het uitrekenen? Kun jij het bijvoorbeeld uitrekenen?

Wat ik 2 jaar geleden van mijn wiskundeleraar begrepen heb, is dat

\(X^0=1\)

, omdat

\(X^2=(1*)X*X\)

en

\(X^1=(1*)X\)

en

\(X^-1=\frac{1}{(1*)X}\)

en

\(X^-2=\frac{1}{(1*)X*X}\)

Dan houd je vanzelf over dat

\(X^0=(1*)..=1\)

of anders gezegd:

\(X^0=\frac{1}{(1*)..}=1\)

Dat is logisch te beredeneren, en dat snap ik wel. Maar is het te bewijzen?

[EvilBro]

Dat kun je niet uitrekenen. Dat is zo per definitie. Je kan het wel aantonen met behulp van andere bekende relaties. Bijvoorbeeld:

\(x^a \cdot x^b = x^{a+b} \mbox{ met } x \neq 0\)

\(x^{-a} = \frac{1}{x^a} \mbox{ met } x \neq 0\)

dus:

\(1 = \frac{x^a}{x^a} = x^a \cdot x^{-a} = x^{a - a} = x^0 \mbox{ met } x \neq 0\)

of:

\(x^a = e^{\ln(x^a)} = e^{a \ln(x)} \mbox{ met } x \neq 0\)

a=0 invullen:

\(x^0 = e^{0 \ln(x)} = e^0 = 1 \mbox{ met } x \neq 0\)

Je kan het ook omdraaien, stel dat geldt:

\(x^0 = a \mbox{ met } a \neq 1\)

dan

\(a^2 = x^0 \cdot x^0 = x^{0 + 0} = x^0 = a\)

Er moet dus een getal zijn ongelijk 1 dat zijn eigen kwadraat is. Dat getal bestaat echter niet in de reeele getallen. Hieruit volgt dat

\(x^0\)

niet ongelijk kan zijn aan 1 (tenminste niet als je de definities van dingen als 0+0 of

\(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\)

wil behouden).

[TD]

Bestaat er iets dat te bewijzen valt?

[...]

Is dat niet net zo bij de wiskunde? Het 'feit' dat 1+1 2 is, is toch maar een aanname? Het is aangenomen, omdat het ontzettend praktisch bleek te zijn, als het zo is. Kun je bewijzen dat 1+1=2? Nee... Het is in prinicipe een feit, omdat het het meest logische is van alle mogelijke antwoorden.

In de wiskunde vertrek je van een aantal aannames (axioma's) en definities, waaruit je perfect dingen kan bewijzen. Wiskunde is niet, zoals natuurwetenschappen, een experimentele wetenschap. We gaan niet 'meten' en 'observeren' om dan met een theorie de meest plausibele verklaring naar voor te schuiven. Ondertussen heeft ook dit nog weinig te maken met 0/0 natuurlijk...

[Don Quichot]

In de wiskunde vertrek je van een aantal aannames (axioma's) en definities, waaruit je perfect dingen kan bewijzen. Wiskunde is niet, zoals natuurwetenschappen, een experimentele wetenschap. We gaan niet 'meten' en 'observeren' om dan met een theorie de meest plausibele verklaring naar voor te schuiven. Ondertussen heeft ook dit nog weinig te maken met 0/0 natuurlijk...

Dan is wiskunde het enige gebied van alle kennis-gebieden van de mens waar dit niet gebeurt. Zelfs in de taal gebeurt dit. Gezien wiskunde ook een taal is moet het ook voor wiskunde opgaan. En inderdaad, als we wat onderzoek plegen blijkt dit ook zo te zijn. Er zijn echter een aantal vastgestelde algemeen geldende afspraken waardoor mensen het idee krijgen dat dit niet gebeurt. Ik begrijp dat het wiskundige systeem dan makkelijker in je op te nemen is (zoals alles), maar voor degenen die op niveau wiskunde studeren lijkt het me redelijk empirisch dat er wel degelijk gesleuteld wordt aan het systeem an sich en aan alle afspraken. Uiteraard is het zo dat als je iets uit wil leggen je misschien moet kiezen voor de simpele versie, maar als je iemand echt begrip voor het systeem wil bijbrengen moet je ook alle varianten en toonaangevende idee"en weergeven.

Misschien zouden jullie eens moeten zoeken onder experimentele wiskund, ontwikkelingen in de wiskunde, doorbraken in de wiskunde, etc. op google.

[FlorianK]

Ondertussen heeft ook dit nog weinig te maken met 0/0 natuurlijk...

Dat had ik geschreven omdat ik een antwoord had verwacht waarin stond dat sommige dingen inderdaad niet zelf uit te rekenen zijn, maar waar enkel een antwoord voor vastgesteld is.

Als dat jouw antwoord geweest zou zijn op mijn bericht dan had ik kunnen zeggen dat dat voor 0/0 net zo zou kunnen: dat er een antwoord wordt vastgesteld. En van daaruit zou dan de vraag kunnen voortvloeien: Als hier op het wetenschapsforum nu een antwoord moet worden bedacht op 0/0, wat zou dan het meest voor de hand liggende antwoord wezen? Is dat 0, omdat 0/x=0, of is het 1, omdat x/x=1, of is het antwoord

\(\rr\)

?

Maar je gaf dat niet als antwoord, dus nu gaat het stellen van die vragen ook niet meer op...

[Don Quichot]

Zeggen dat iets niet gedefinieerd is, is ook een antwoord...en een definitie (zij het een paradoxale).

[Phys]

Hubris, je quootte mijn vraag op welk niveau jij wiskunde hebt gevolgd. Het leek erop of je wilde antwoorden, maar je deed dit niet. Ik ben wel benieuwd nu

Dan is wiskunde het enige gebied van alle kennis-gebieden van de mens waar dit niet gebeurt. Zelfs in de taal gebeurt dit.

Wiskunde is ook de enige uitzondering! Dat maakt wiskunde ook speciaal: het staat helemaal los van de natuur, de maatschappij enz. De hele wiskunde zou bij wijze van spreke 'bedacht' kunnen worden op een andere planeet, en dan zou het zich op dezelfde manier ontwikkelen (behalve naamgevingen e.d.).

Gezien wiskunde ook een taal is moet het ook voor wiskunde opgaan.

Dat vind ik een erg vreemde en foute redenering. Wiskunde is een taal zoals Frans, Duits, DUS heeft het precies dezelfde eigenschappen.

Nee, op een bepaalde manier kun je wiskunde als een taal omschrijven (geheel anders dan Frans, Duits, enz) en ze hebben dan ook heel andere eigenschappen.

[TD]

Dan is wiskunde het enige gebied van alle kennis-gebieden van de mens waar dit niet gebeurt. Zelfs in de taal gebeurt dit. Gezien wiskunde ook een taal is moet het ook voor wiskunde opgaan.

Ik zie wiskunde niet als een taal, bepaalde overeenkomsten maken het nog niet wat wij doorgaans verstaan onder een "taal". In de wiskunde gaan we niet een boom doorzagen, de omtrek meten, de diameter meten, dit delen om zo pi experimenteel vast te leggen. We definiëren pi op een bepaalde manier.

Hoewel vele zaken in de wiskunde oorspronkelijk ontstaan zijn uit fysische problemen, heeft de wiskunde an sich geen natuur nodig. Neem een wiskundige, een stel axioma's en definities en hij kan gaan spelen. Zeker het gros van het huidige onderzoek binnen de wiskunde doet geen beroep op de 'natuur': een bureau en een pen volstaan, bij wijze van spreken.

Als dat jouw antwoord geweest zou zijn op mijn bericht dan had ik kunnen zeggen dat dat voor 0/0 net zo zou kunnen: dat er een antwoord wordt vastgesteld.

Dat is een goede opmerking, maar zoals gezegd: wanneer men hier een definitie aan tracht te geven (0, 1 of nog wat anders), dan blijkt dat niet consistent met de eigenschappen/rekenregels die we al hebben, en die we liever niet verliezen. Dat blijkt algemeen zo met deling door 0 (dus ook voor 3/0), vandaar dat deling door 0 in R niet gedefinieerd is.

[FlorianK]

Jullie komen op mij over alsof jullie zeggen dat de wiskunde helemaal klaar is met ontwikkelen. Dat alles wat bedacht is, ook alles is dat bedacht kan worden.

Ik bedenk me nu ineens dat we vorig jaar met ANW hebben moeten leren dat wetenschappers heeeeel vaak in dogma's denken, of moeten denken. Zo dachten vroegere natuurkundigen dat een vacuüm absoluut niet kon bestaan... Omdat dat volgens de huidige gedachten niet kon. Zo was het volgens hun, wanneer je een pipet vulde met water en de bovenkant afsloot en het water er dus niet uit liep, het de hand van God die het water in de pipet hield.

Tegenwoordig lachen we ze uit... Domme gedachtes van ze!

Zou het niet kunnen dat onze huidige denkbeelden obver een aantal jaar bespot worden, omdat we helemaal de verkeerde kant op zitten te denken?

[TD]

Jullie komen op mij over alsof jullie zeggen dat de wiskunde helemaal klaar is met ontwikkelen. Dat alles wat bedacht is, ook alles is dat bedacht kan worden.

Helemaal niet, waar haal ik het anders vandaan om het huidig wiskundig onderzoek te vernoemen?