Partiële en volledige afgeleiden

[louis999]

Hallo,

Ik heb een vraag in verband met partiële en volledige afgeleiden. Het gaat over veralgemeende coordinaten, de fysica erachter versta ik maar ik heb een probleem om de laatste identiteit te bewijzen (deze in het oranje kadertje) kan iemand mij (op weg) helpen?

Bestand:

episodes 684 keer bekeken

Dank bij voorbaat!

ps sorry dat ik het niet in LaTeX getypt heb!

[louis999]

Niemand een idee hoe je kan bewijzen dat

\($\displaystyle\frac{\partial\vec{v}_i}{\partial\dot{q}_j} = \displaystyle\frac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_j}$ \)

waarbij

\($ \partial\dot{q}_j = \partial\displaystyle\frac{d q_j}{dt} $ \)

?

[JorisL]

Je wilt eigenlijk dot cancellation bewijzen met andere woorden.

Even kijken of ik het nog kan vinden.

\(\frac{\partial\vec{v}_i}{\partial\dot{q}_j} = \frac{\partial\dot{\vec{r}_i}}{\partial\dot{q}_j} = \frac{\partial\vec{r}_i}{\partial q_j}\)

Ik zal nu even onderstellen dat er 2 veralgemeende coordinaten zijn, p en q.

\(\vec{v} = \frac{d}{dt}\vec{r} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial p}\cdot\dot{p} + \frac{\partial\vec{r}}{dq\partial q}\cdot\dot{q}\)

Waarbij ik veronderstel dat de vector r niet expliciet afhankelijk is van t.

Verder onderstel ik dat de coordinaten p en q niet onderling van elkaar afhangen.

Dan geldt:

\(\frac{\partial\vec{v}}{\partial\dot{p}} = \frac{\partial\frac{\partial\vec{r}}{\partial p}\cdot\dot{p}}{\partial\dot{p}} + \frac{\partial\frac{\partial\vec{r}}{\partial q}\cdot\dot{q}}{\partial\dot{q}}\)

Met de onderstellingen die ik gemaakt heb, zal de 2de term dan 0 zijn.

Dan moet ik enkel nog zeggen dat er blijkbaar ook geen expliciete afhankelijkheid van de tijdsafgeleiden van de coordinaten p en q in de vector r mag zitten.

Ik weet niet of dat allemaal zo gegeven is? Ik ga er van uit dat dit analytische mechanica verwant is?

Dan zijn deze uitspraken vaak waar.

Het kan natuurlijk ook dat ik er mijlen ver naast zit.

mvg

JorisL

[louis999]

Bedankt voor uw antwoord!

Het heeft inderdaad te maken met analytische mechanica, meer bepaald met de Lagrangiaan - Hameltoniaan, dit ter zijde.

Wij hebben gezien dat hiervoor r wel afhankelijk is van t, voor de algemeenheid...

Ik heb ook uw uitwerking eens bekeken en geprobeerd het voor n-deeltjes te schrijven, voor de algemeenheid:

\( \vec{v_i}=\displaystyle\frac{d\vec{r_i}}{dt} = \sum_{m}^{3n-k} \displaystyle\frac{\partial\vec{r_i}}{\partial q_m} \dot{q_m} + \displaystyle\frac{\partial\vec{r_i}}{\partial t} \)

\( \displaystyle\frac{\partial\vec{v_i}}{\partial \dot{q_j}} = \sum_{j,m}^{3n-k} \displaystyle\frac{\partial\displaystyle\frac{\partial\vec{r_i}}{\partial q_m} \dot{q_m}}{\partial \dot{q_j}} + \displaystyle\frac{\partial^2\vec{r_i}}{\partial t \partial \dot{q_j}} \)

Dan zal op een bepaald punt als j en m de sommatie doorlopen en m gelijk is aan j de partiële afgeleide gelijk zijn aan

\(\displaystyle\frac{\partial\vec{r_i}}{\partial q_j} \cdot 1\)

en in de andere gevallen 0. Maar wat vang je dan aan met de afgeleide van r naar de tijd en dot_q_j?

[louis999]

Oké, ik denk dat ik het gevonden heb, doordat ik er al zoveel had op zitten kijken was ik het volledig overzicht een beetje kwijt.

Ik denk dus het volgende, is dit nu volledig correct?

\( \displaystyle\frac{\partial\vec{v_i}}{\partial \dot{q_j}} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial \dot{q_j}}\bigg( \displaystyle\frac{d\vec{r_i}}{dt}\bigg) = \displaystyle\frac{\partial}{\partial \dot{q_j}} \Bigg(\sum_{m}^{3n-k} \displaystyle\frac{\partial\vec{r_i}}{\partial q_m} \dot{q_m} + \displaystyle\frac{\partial\vec{r_i}}{\partial t} \Bigg) = \displaystyle\frac{\partial}{\partial \dot{q_j}} \Bigg( \displaystyle\frac{\partial\vec{r_i}}{\partial q_j} \dot{q_j} +\sum_{m\neq j}^{3n-k} \displaystyle\frac{\partial\vec{r_i}}{\partial q_m} \dot{q_m} + \displaystyle\frac{\partial\vec{r_i}}{\partial t} \Bigg) = \displaystyle\frac{\partial\vec{r_i}}{\partial q_j} \bigg( 1+ 0+ 0 \bigg) = \displaystyle\frac{\partial\vec{r_i}}{\partial q_j}\)

alvast bedankt!

Louis