Random getallen

[PeterPan]

We discretiseren het segment

\([0,1]\)

tot de verzameling

\(\{\frac11, \frac12, \frac13, \cdots, \frac{n}{n}\}\)

en nemen straks de limiet voor

\(n \to \infty\)

.

Kies

\(n\)

vast.

Zij

\(f(k)\)

de verwachting van het aantal getallen dat nodig is om startende met

\(\frac{k}{n}\)

boven 1 te komen.

We zoeken

\(f(0)\)

.

\(f(n)=1\)

(triviaal).

\(f(n-1) = 1 + \frac{1}{n}f(n)\)

, want je moet sowieso 1 zet doen en de kans is

\(\frac{1}{n}\)

dat je met dat getal nog onder 1 blijft.

\(f(n-2) = 1 + \frac{1}{n}f(n-1) + \frac{1}{n}f(n)\)

, want de kans dat je 1 of 2 kleinste stapjes opschuift is

\(\frac{1}{n}\)

.

En in het algemeen:

\(f(k) = 1 + \frac{1}{n}\sum_{i=k+1}^n f(i)\)

.

Met volledige inductie kun je nu aantonen dat

\(f(k) = \left(1+\frac{1}{n}^\right)^{n-k}\)

Dat is simpel, dus dat laat ik maar achterwege.

Dus

\(f(0) = \left(1+\frac{1}{n}^\right)^{n}\)

en de verwachting voor het aantal getallen dat nodig is om boven 1 te komen is

\(\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}^\right)^{n} = e\)

Uit het eerste en dit bewijs volgt:

\(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}^\right)^{n}\)

Dit bericht is bewerkt door Tante Sidonia: Gisteren over een maand, -10:88

[jhnbk]

Deze vind ik het mooiste !!

[Schwartz]

En nu het volgende probleem voor de wiskundigen:

funktie: random_range(a,b) is random een getal vanaf a tot en met B)

t:=0;buffer:=0;x:=0;

repeat;

inc(x);buffer:=random_range(random_range(1,50),random_range(50,100));

IF buffer<>10 then begin t:=t+buffer;end;

IF t>100 then begin break;end;

until false;

Wat wordt X?

[A.Square]

Mijn Exponentiele-verdeling aanpak lukt helaas niet.

Ik zal laten zien wat ik van plan was.

Voor n uniform-willekeurige getallen in (0,1) geldt dat de 'tussenruimtes' verdeeld zijn als Exp(n) met gemiddelde 1/n

Dat wil zeggen dat bijvoorbeeld het 4de getal in de gesorteerde rij verdeeld is als 4 Exp(n) = Exp(4 n) (Som van exponentiele is weer exponentieel)

Zij X~Exp(n)

Kies n zodanig dat:

Expect[X + 2X + 3X + ... + nX] = 1

Expect[1/2.n.(n-1) X] = 1/2.n.(n-1).Expect[X] = 1/2.n.(n-1).1/n = 1/2.(n-1)=1

=> n=3

Mijn fundamentele denkfout zat in het feit dat de rij niet gesorteerd is.

nb: Expect[X] is de verwachtingswaarde van X. Ik heb geen E gebruikt om verwarring te voorkomen.

[jhnbk]

En nu het volgende probleem voor de wiskundigen:

funktie: random_range(a,b) is random een getal vanaf a tot en met B)

t:=0;buffer:=0;x:=0;

repeat;

inc(x);buffer:=random_range(random_range(1,50),random_range(50,100));

IF buffer<>10 then begin t:=t+buffer;end;

IF t>100 then begin break;end;

until false;

Wat wordt X?

Het komt er dus op neer dat we een reeks getallen genereren op de volgende manier,

random_range(random_range(1,50),random_range(50,100)), en stoppen als de som groter is dan 100.

Nu zoeken we het verwachte aantal getallen.

Klopt dit?

[Schwartz]

Ja, maar je mag het zonder de bijzondere regel doen van die test van dat getal 10.

In games komt dat wel eens voor dat men zon getal wilt weglaten in de random.

En voor de symmetrie moet 100 eigenlijk 99 zijn omdat men dan aan elke kant van de random_range evenveel elementen heeft.

1..50 50..99

of men kan nemen 1..50 en 51..100

als men volledige symmetrie wil.