Toen ik bericht # 31 plaatste rekende ik met een 'De Broglie' snelheid van c (c=λ[sub]b[/sub]*f[sub]b[/sub]), de lichtsnelheid. Van daaruit kun je rekenen naar de energie niveau's van het waterstofatoom (relativistisch, SRT) : E[sub]n[/sub] = m[sub]o[/sub]c[sup]2[/sup]√(1-α[sup]2[/sup]/n[sup]2[/sup]), waarin α de fijnstructuur constante is.
E[sub]n[/sub]=E[sub]o [/sub]+ E[sub]kin[/sub] + E[sub]pot [/sub] en n een natuurlijk getal ≥ 1.
 
In bericht # 96 rekende ik met een 'De Broglie' snelheid van v=λ[sub]b[/sub]*f[sub]b.[/sub]  Als je dan rekent aan een relativistische formule voor de energie niveau's van het waterstofatoom krijg je een iets andere formule.
Nu heb ik voor beide gevallen de overgang van n=1 naar n=2 uitgerekend en alleen de bovenstaande formule levert het juist resultaat. Dit betekent dat de in bericht # 96 genoemde trilling niet juist is. Helaas.
Een 'De Broglie' golf beweegt dus met een fasesnelheid van c en een groepsnelheid van v (uitgaande van een golfpakket).
Bij het waterstofatoom voor n=1, past een golflengte op de omtrek van de baan, hetgeen betekent dat het golfpakket interfereert met zichzelf en dat levert dus blijkbaar een stabiele baan op die geen EM straling uitzend.
Als je naar bovenstaande formule kijkt dan zou je je kunnen afvragen of er in het waterstof atoom nog andere energie toestanden mogelijk zijn. De term onder het wortelteken kan immers nog kleiner worden dan voor n=1. Het elektron golfpakket zou dan nog dichter bij de kern kunnen komen. Als het golfpakket constructief interfereert met zichzelf zou dat mogelijk moeten zijn. n zou dan bijv. 1/2 kunnen zijn, dwz elke halve golflengte interfereert met het golfpakket.
Er is wat onderzoek gedaan door de TU Eindhoven, zie het bijgevoegde artikel dat ik vond door de zoekmachine van Google.

Nog wat gefilosofeer over energie, impuls en rustmassa en de 12 bestaande deeltjes met spin 1/2.

Heb geprobeerd relativistisch te rekenen aan een trilling waarvan de potentiaal een cosh is. Zie de bijgevoegde 3 bladzijden.
Er volgt nog meer daar je in het geval van de trilling relatief makkelijk de frequentie van de trilling kan berekenen. Maar dat komt wat later.

In bericht 96 schreef ik dat de trilling longitudinaal zou zijn maar bij nader inzien moet dat toch transversaal zijn. Bij een spleet is de breedte daarvan van invloed of je buigings verschijnselen hebt of niet (of minder). Dat kan alleen als de golf transversaal is. Zou het longitudiaal zijn dan zou de breedte van de spleet er niet toe doen.
Aangezien de amplitude van de golf afhankelijk is van de energie (hoe energie rijker, hoe kleiner de amplitude) vertaalt zich dat in de breedte van de spleet. Hoe energie rijker het deeltje hoe nauwer de spleet moet zijn.

bericht 97 en ten dele bericht 98 is niet juist. Energie moet je relativistisch gewoon ook lineair optellen. Kwadratisch optellen is onzin. Neem me niet kwalijk.
Wat wel correct is dat je zou kunnen stellen dat de rustmassa van een deeltje uit tenminste de rustmassa van de trilling bestaat en, als er sprake is van spin, ook uit  een rotatie component.

In navolging op bericht 97 nog de volgende opmerking over het kwadratisch optellen van energie bijdragen in de SRT.
Passen we dit toe op de rustmassa van een elementair deeltje dan zou je het volgende kunnen stellen:
(m[sub]o deeltje[/sub])[sup]2[/sup] = (m[sub] trilling[/sub])[sup]2[/sup] + (m[sub] rotatie[/sub])[sup]2[/sup] ,    in woorden: (rustmassa deeltje)[sup]2[/sup] = (rustmassa tgv trilling)[sup]2[/sup] + (rustmassa tgv rotatie)[sup]2[/sup]
 
Relativistisch kun je er gewoon aan rekenen als je aannneemt dat een deeltje geen puntmassa is maar afmetingen heeft orden van groten groter dan de planck lengte. De amplitude van de trilling van een elektron komt ongeveer op een halve picometer. De afmeting van een bolletje is dan vele machten van tien kleiner.
Op deze schaal kun je de trillingspotentiaal gewoon benaderen als evenredig met de afstand of, als een relativistische benadering, wellicht de cosh.
De rotatie is met een eenparige hoeksnelheid dus daar is een potentiaal niet nodig om de rotatie energie te berekenen.

Vandaag schoot me nog de volgende gedachte te binnen:
Klassiek wordt de energie in aparte termen opgeteld maar relativistisch kwadratisch. Om nu tot een relativistische kwantummechanische vergelijking voor gebonden systemen te komen (wat het onderwerp is van deze discussie) zou je relativistisch een potentiele energie term kunnen toevoegen in het kwadraat en daarop het correspondentie principe op los laten. Je krijgt dan de Klein-Gordon vergelijking maar dan met een potentiele energie term.

Ik heb in mijn volgende bijdrage weer 2 blaadjes volgeschreven waarbij ik de relativistische energie vergelijking heb gecombineerd met de kwantum mechanische (E=h*f). Je kan dan komen tot interessante conclusies (als je naar de golflengte kijkt) en als mijn interpretatie juist is, dan is een deeltje voor te stellen als een trilling (v=o) en als het deeltje dan gaat bewegen wordt de trilling een golf.
Maar als het deeltje een trilling ondergaat, dan is er ook sprake van een potentiaal vanuit het centrum van de trilling en die meebeweegt. Kortom ik hoor graag of mijn interpretatie juist is?

Ik kom nog even terug op de vergelijking E[sup]2[/sup] = m[sup]2[/sup][sub]0[/sub]c[sup]4[/sup] +p[sup]2[/sup]c[sup]2[/sup],  en dan met name op de term m[sub]o[/sub]c[sup]2.  [/sup]Als er sprake is van spin dan zit dat in deze term verborgen, de rustenergie is dan immers de rotatie energie. Als je weer even het cilinderschilletje neemt dan is de impuls p van dat schilletje met massa dm : dp= v*dm.
Hieruit volgt dat de rotatie energie is: dE[sub]rot[/sub]= c[sup]2 [/sup]* dm = c[sup]2 [/sup]* dp/v = c[sup]2[/sup]/w * 1/y*dp  waarin p een functie is van y  en w de hoeksnelheid..
E[sub]rot[/sub]= m[sub]o[/sub]c[sup]2[/sup]= integraal c[sup]2[/sup]/w * 1/y*dp . Dit laat zien dat in de rustenergie dan ook de impuls vertegenwoordigt is en als zodanig vertaald kan worden naar de Dirac vergelijking. 
 
Is er geen spin, dan is de rustenergie ook daadwerkelijk de rustenergie en is er geen impuls component aanwezig.

Helaas moet ik weer een bericht van mij corrigeren. Het gaat over de hoeksnelheid. Zie bijv bericht 71 en verder. Ik beweerde daarin dat de hoeksnelheid voor alle 4 de deeltjes hetzelfde is. Maar dit kan niet kloppen nu ik ook het impulsmoment heb uitgerekend en daarin de hoeksnelheid gelijk heb gesteld aan de "de Broglie"  frequentie. Daarin heb ik m[sub]o[/sub]c[sup]2[/sup] = hf  gesteld. Voor elk van de 4 deeltjes geldt een ander m[sub]0[/sub]c[sup]2[/sup] en dan kan f (en dus de hoeksnelheid) niet hetzelfde zijn voor elk deeltje apart.
Als we dus de familie: elektron, muon en tau nemen, dan is de hogere rustmassa dus te wijten aan een hogere hoeksnelheid en wellicht ook een andere straal. De heer DSS merkte dat terecht op.
Dan kunnen we het volgende stellen:
de hoeksnelheid wordt gegeven door: m[sub]0[/sub]c[sup]2[/sup]/h
De dichtheid wordt per familie als constant beschouwd, 
De straal volgt uit impulsbehoud: kwantum mechanisch is de absolute waarde L = √(s[sup]2[/sup]+s)*h/2π = constante + h/2π  met s = 1/2.
 
In de vergelijking voor de constante zit dan R als functie van de hoeksnelheid, de lichtsnelheid en de dichtheid. 

Als je de uitgerekende rotatie energie gelijk stelt aan h*f, dan heb je ook een mogelijkheid om h uit te rekenen. Dat zal niet helemaal kloppen want het is maar een bolletjes model, maar zal toch wel redelijk dicht in de buurt liggen. h is dan uit te drukken als functie van de lichtsnelheid, hoeksnelheid, de straal van de bol en de dichtheid van het bolletje. 

[quote="Boormeester"]
 Wat ik in het uitgerekende impuls moment deed was de translatie energie (plus de rustmassa energie) gelijk stellen aan h*f. Waarin f dan inderdaad de hoekfrequentie is.   Je kunt dan stellen dat h*f = m[sub]o[/sub]c[sup]2[/sup]
[/quote]
 
Het moet niet translatie energie zijn maar rotatie energie, sorry.

Ik moet toch nog even terug komen op bericht 84. Daarin stel ik dat de hoeksnelheids frequentie niet gelijk is aan de "de Broglie" frequentie. Ik moet daar toch op terug komen. Ik denk namelijk dat wat ik in eerste instantie opschreef toch correct is, alleen verwoorde ik het in bericht 84 niet correct. Ik dacht namelijk aan de translatie "de Broglie frequentie" en die neemt toe met het toenemen van de impuls.
Echter de spin neemt niet toe, die blijft gewoon 1/2. Wat ik in het uitgerekende impuls moment deed was de translatie energie (plus de rustmassa energie) gelijk stellen aan h*f. Waarin f dan inderdaad de hoekfrequentie is.   Je kunt dan stellen dat h*f = m[sub]o[/sub]c[sup]2[/sup]

Ik was even een paar dagen weg op de Guadiana rivier in Portugal en had maar beperkt internet toegang. Maar nu weer thuis. Had wel tijd om erover na te denken wat sensor opperde.
1) Als je bij het H-atoom het totale impulsmoment berekent dan telt men daar ook de spin bij. Je kunt dus zonder meer stellen dat spin een impulsmoment is.
2) Feynman stelde bij het introduceren van zijn pad integraal methode dat het een leuke rekenwijze was maar niet noodzakelijkerwijze hoefde overeen te komen met  de werkelijkheid (zijn woorden).
3) Bij de golfmechanica wordt een wiskundig recept toegepast. Men maakt bijv. van een relativistische kwadratische energie vergelijking via een bepaald recept een 2e orde differentiaal vergelijking: Klein-Gordon vergelijking.  Eigenlijk niets anders dan een soort omgekeerde Laplace transformatie.
Deze differentiaal vergelijking wordt vervolgens opgelost onder 2 randvoorwaarden: geen spin en wel spin (Dirac vergelijking). Het toegepaste recept werkt geweldig en de uitkomsten zijn in overeenstemming met de werkelijkheid. Maar is het recept werkelijkheid??
4) De golfmechanica kan echter niet het aantal deeltjes voorspellen en zeker niet donkere materie.
5) Aangezien spin een impuls moment is en een relativistisch effect (kan alleen optreden als er een rotatie snelheid is), moet je concluderen dat een deeltje een afmeting heeft. Hoe groot die afmeting is kun je in principe uitrekenen omdat van bijv. de elektronen familie (elektron, muon, tau) de rustmassa bekend is.
6) Het is daarom niet meer dan logisch om eens te rekenen aan een 3-dimensionaal golfpakketje en kijken wat eruit komt. De bolvorm is daarvan de makkelijkste benadering en het eenvoudigst om aan te rekenen. Zoals ik heb gedaan.
7) Kijken we bijv. eens naar de relativistische kwadratische energie vergelijking voor een vrij elektron waaruit de Klein Gordon vergelijking komt rollen dan kun je al wat zeggen over de term m[sub]0[/sub]c[sup]2[/sup] : de rust energie. (De term met de impuls is enkel voor de translatie energie.)
In de rust energie term moet dan verwerkt zitten de spin (rotatie energie). Is er geen spin dan is de rustenergie term puur de rustmassa.
Is er wel spin dan is de rustenergie term: rustmassa + rotatie energie ( spin)
8) Je kunt hieruit gelijk concluderen dat toevoeging van energie aan een elektron niet lijdt tot toename van de spin (zelfs niet gekwantiseerd) maar enkel tot een toename van de impuls. De rustmassa verandert immers niet (experimenteel feit).

Er zijn twee mogelijkheden de klassieke straal = lorentz radius of de relativistische straal en die is nul.
 
De lorentz straal is de straal die nodig is om een bolletje met een bepaalde massa potentiële energie te geven. De beschrijving van de spin staat los van de klassieke of relativistische straal. Spin volgt simpelweg uit de oplossing van de golfvergelijking.