door blaze » wo 28 sep 2005, 15:40
Jorick schreef:Nee, ik zoek een manier om na te gaan of de som van de functie, lopend van n>= 1 (tot oneindig dus), log n/ (n* wortel van (n+1)). Of die convergeerd. Alleen ik heb alle methodes die ik ken geprobeerd alleen ik kom niet verder. Integreren is volgens mij niet de makkelijkste manier. Misschien moet ik het quotientkenmerk nog een keer proberen te gebruiken. Ik denk niet dat ik ver kom met het wortelkenmerk of met het kenmerk van telescoop-reeksen.
hm, ik hoop dat ik devraag goed begrijp:
we beschouwen de rij t(n) met als voorschrift log(n)/(n*sqrt(n+1))
vervolgens beschouwen we de reeks t(1)+t(2)+t(3)+...+t(n)+... tot oneindig
jij wilt weten of die reeks convergeert?
goed nieuws: er bestaat zoiets als de convergentieregels van d'Alembert:
gegeven is een reeks t(1)+t(2)+t(3)+...+t(n)+...
als lim(n->oneindig) van abs(t(n+1)/t(n))<1, dan convergeert de reeks.
ook nog:
de reeks t(1)+t(2)+t(3)+...+t(n)+... convergeert => lim(n->oneindig) van t(n) = 0
let op: het omgekeerde geldt niet altijd (dit is dus geen voorwaarde, slechts een controlemiddel)
hopelijk ben je hier iets mee[/b]
veel gemakkelijkere methode: de insluitstelling.
beschouw 3 rijen a(n), b(n) en c(n).
als geldt
a(n)<b(n)<c(n) vanaf een bepaalde n-waarde
en
lim(->oneindig) van a(n)= p = lim(->oneindig) van c(n)
dan geldt:
lim(->oneindig) van b(n)= p
een functie kleiner vinden die naar 0 convergeert is nie moeilijk: pak erges een functie die negatief is die 0 als limiet naar oneindig heeft (vanaf 1 is jouw gevraagde functie positief)
een functie groter: je noemer blijft, en in je teller zet je iets dat groter is dan log(n), bv n. kan je n in noemer en teller schrappen, bekom je 1/vkw(n+1), en die heeft als limiet 0
dus je gevraagde functie nadert naar 0 in oneindig.
[quote][quote='Jorick']Nee, ik zoek een manier om na te gaan of de som van de functie, lopend van n>= 1 (tot oneindig dus), log n/ (n* wortel van (n+1)). Of die convergeerd. Alleen ik heb alle methodes die ik ken geprobeerd alleen ik kom niet verder. Integreren is volgens mij niet de makkelijkste manier. Misschien moet ik het quotientkenmerk nog een keer proberen te gebruiken. Ik denk niet dat ik ver kom met het wortelkenmerk of met het kenmerk van telescoop-reeksen.[/quote]
hm, ik hoop dat ik devraag goed begrijp:
we beschouwen de rij t(n) met als voorschrift log(n)/(n*sqrt(n+1))
vervolgens beschouwen we de reeks t(1)+t(2)+t(3)+...+t(n)+... tot oneindig
jij wilt weten of die reeks convergeert?
goed nieuws: er bestaat zoiets als de convergentieregels van d'Alembert:
[i]gegeven is een reeks t(1)+t(2)+t(3)+...+t(n)+...
als lim(n->oneindig) van abs(t(n+1)/t(n))<1, dan convergeert de reeks.
ook nog:
de reeks t(1)+t(2)+t(3)+...+t(n)+... convergeert => lim(n->oneindig) van t(n) = 0
[b]let op: het omgekeerde geldt niet altijd (dit is dus geen voorwaarde, slechts een controlemiddel)[/b][/i]
hopelijk ben je hier iets mee[/b][/quote]
veel gemakkelijkere methode: de insluitstelling.
[i]beschouw 3 rijen a(n), b(n) en c(n).
als geldt
a(n)<b(n)<c(n) vanaf een bepaalde n-waarde
en
lim(->oneindig) van a(n)= p = lim(->oneindig) van c(n)
dan geldt:
lim(->oneindig) van b(n)= p[/i]
een functie kleiner vinden die naar 0 convergeert is nie moeilijk: pak erges een functie die negatief is die 0 als limiet naar oneindig heeft (vanaf 1 is jouw gevraagde functie positief)
een functie groter: je noemer blijft, en in je teller zet je iets dat groter is dan log(n), bv n. kan je n in noemer en teller schrappen, bekom je 1/vkw(n+1), en die heeft als limiet 0
dus je gevraagde functie nadert naar 0 in oneindig.
