Tempelier.
Er is geen laagste rationeel getal dat direct volgt op ½. Er zijn wel heel veel rationele getallen die na ½ komen. (0,51; 0,501; 0,5001 etcetera) Desalniettemin beweert ook Schuh dat er tenminste twee rationele getallen liggen tussen elke twee irrationele getallen. Wellicht is dat dus niet (helemaal) waar. Dit is overigens niet zozeer een eigenschap van een oneindig aantal (het is immers niet waar voor de natuurlijke getallen), maar een eigenschap van een oneindige opsplitsing.
Maar je hebt dus gelijk, dat er – volgens de theorie – verzamelingen zijn waarbinnen een element niet direct wordt gevolgd door een specifiek ander element.
Terug bij mijn oorspronkelijke bewering:
Als de eigenschappen van een eindige verzameling niet gelden voor een oneindige verzameling, welke eigenschappen zijn dat dan? Medunkt dat het niet de eigenschappen kunnen zijn die voor elk individueel element of voor elke twee opeenvolgende elementen van de verzameling gelden.
Dit is formeel niet in strijd met jouw terechte opmerking dat er in sommige verzamelingen niet twee opeenvolgende elementen te vinden zijn. Als er geen twee opeenvolgende elementen zijn, dan zijn er ook geen eigenschappen die daarvoor gelden. Ondertussen heb je mijn vraag niet beantwoord: “Welke eigenschappen zijn dat dan?” Je beweerde:
Jij zondigt daar tegen door bewezen? eigenschappen binnen een eindige verzameling van toepassing te verklaren op een oneindige.Als je niet begrijpt dat dat niet mag, ja dan houdt het gewoon op.
Ik wil eigenlijk weten welke eigenschap (binnen een eindige verzameling) ik volgens jou van toepassing verklaar op een oneindige verzameling, terwijl dat niet zou mogen. Ik ben me er namelijk niet van bewust dat ik dat gedaan heb. Als ik een denkfout heb gemaakt, dan wil ik uiteraard graag weten welke dat precies is. Dat voorkomt dat ik die fout in het vervolg blijf maken.
Professor puntje:
U schreef eerder:
Deze twee zinnen maken duidelijk dat je niet in een wezenlijke discussie geïnteresseerd bent. Je gaat te werk als een politicus in verkiezingstijd: dus stug je eigen standpunt naar voren blijven brengen, en weerleggingen en kritiek ontwijken of negeren.
Dat is iets anders dan kritiek op een onwetenschappelijke aanpak. Dat is het toekennen van intenties en een aanval op mijn integriteit. Ik bracht met het posten van mijn nachtelijke overwegingen helemaal geen standpunt naar voren. En zoals u inmiddels hebt kunnen waarnemen, doe ik mijn best op kritiek in te gaan.
Ik probeer ook helemaal niet een nieuw en deugdelijk alternatief voor de wiskunde te bedenken. Noch probeer ik een tak van de wiskunde te verdedigen. Ik probeer alleen om logisch na te denken over de implicaties van de door Schuh beschreven theorie, en verwonder me daarbij over de logische consequenties die zij – volgens mij – heeft.
Dat ik slechts beperkte kennis heb van de wiskunde geef ik grif toe. U hebt echter nergens aangetoond dat het mij aan logica ontbreekt. Als u logica-fouten in een van mijn berichten hebt geconstateerd. Verzoek ik u beleefd deze aan te tonen. En niet zonder concrete argumentatie te beweren dat het mij aan kennis van de logica schort.
Evilbro
Wederom degene die serieus op mijn gedachten ingaat en met een concreet argument komt. Mijn veronderstelling dat het niet mogelijk is om een Dedekindsnede die een onmeetbaar getal definiëert door het verhuizen van rationele getallen van de hoge naar de lage klasse om te zetten blijkt dus niet te kloppen. Mijn fantasie schoot weer eens te kort. Bedankt voor dit voorbeeld.
Het blijkt dus wel te kunnen indien met tevoren weet welk onmeetbaar getal men wil bereiken. (in het voorbeeld de vierkantswortel uit 3). Dit doet mij echter vermoeden dat het betreffende onmeetbare getal niet wordt gedefiniëerd door de Dedekindsnede, maar dat de betreffende Dedekindsnede wordt gedefiniëerd door een onmeetbaar getal.
Er zijn ook onmeetbare getallen waarvan men een (eindig) aantal elementen van de fundamentaal(of Cauchy)rij kan berekenen door bij de reeds bekende elementen van een bestaande fundamentaalrij een rationeel getal op te tellen, of die elementen met een rationeel getal te vermenigvuldigen. Wellicht kan men ook hiervoor een verzameling rationale getallen beschrijven welke men op dezelfde manier van de hoge naar de lage klasse van een Dedekindsnede kan verhuizen teneinde het nieuwe onmeetbare getal te verkrijgen?
Uitgaande van het voorbeeld
\(C = \{c \in B : (c-2)^2 < 2 \}\)
Dit moet m.i. het onmeetbare getal opleveren dat gelijk is aan wortel 2 + 2.
Ik weet niet of dit soort manipulaties ook kan met transcedente getallen zoals π.
Tempelier.
Er is geen laagste rationeel getal dat direct volgt op ½. Er zijn wel heel veel rationele getallen die na ½ komen. (0,51; 0,501; 0,5001 etcetera) Desalniettemin beweert ook Schuh dat er tenminste twee rationele getallen liggen tussen elke twee irrationele getallen. Wellicht is dat dus niet (helemaal) waar. Dit is overigens niet zozeer een eigenschap van een oneindig aantal (het is immers niet waar voor de natuurlijke getallen), maar een eigenschap van een oneindige opsplitsing.
Maar je hebt dus gelijk, dat er – volgens de theorie – verzamelingen zijn waarbinnen een element niet direct wordt gevolgd door een specifiek ander element.
Terug bij mijn oorspronkelijke bewering:
[quote]Als de eigenschappen van een eindige verzameling niet gelden voor een oneindige verzameling, welke eigenschappen zijn dat dan? Medunkt dat het niet de eigenschappen kunnen zijn die voor elk individueel element of voor elke twee opeenvolgende elementen van de verzameling gelden.[/quote]
Dit is formeel niet in strijd met jouw terechte opmerking dat er in sommige verzamelingen niet twee opeenvolgende elementen te vinden zijn. Als er geen twee opeenvolgende elementen zijn, dan zijn er ook geen eigenschappen die daarvoor gelden. Ondertussen heb je mijn vraag niet beantwoord: “Welke eigenschappen zijn dat dan?” Je beweerde:
[quote]Jij zondigt daar tegen door [i]bewezen?[/i] eigenschappen binnen een eindige verzameling van toepassing te verklaren op een oneindige.Als je niet begrijpt dat dat niet mag, ja dan houdt het gewoon op.[/quote]
Ik wil eigenlijk weten welke eigenschap (binnen een eindige verzameling) ik volgens jou van toepassing verklaar op een oneindige verzameling, terwijl dat niet zou mogen. Ik ben me er namelijk niet van bewust dat ik dat gedaan heb. Als ik een denkfout heb gemaakt, dan wil ik uiteraard graag weten welke dat precies is. Dat voorkomt dat ik die fout in het vervolg blijf maken.
Professor puntje:
U schreef eerder:
[quote]Deze twee zinnen maken duidelijk dat je niet in een wezenlijke discussie geïnteresseerd bent. Je gaat te werk als een politicus in verkiezingstijd: dus stug je eigen standpunt naar voren blijven brengen, en weerleggingen en kritiek ontwijken of negeren. [/quote]
Dat is iets anders dan kritiek op een onwetenschappelijke aanpak. Dat is het toekennen van intenties en een aanval op mijn integriteit. Ik bracht met het posten van mijn nachtelijke overwegingen helemaal geen standpunt naar voren. En zoals u inmiddels hebt kunnen waarnemen, doe ik mijn best op kritiek in te gaan.
Ik probeer ook helemaal niet een nieuw en deugdelijk alternatief voor de wiskunde te bedenken. Noch probeer ik een tak van de wiskunde te verdedigen. Ik probeer alleen om logisch na te denken over de implicaties van de door Schuh beschreven theorie, en verwonder me daarbij over de logische consequenties die zij – volgens mij – heeft.
Dat ik slechts beperkte kennis heb van de wiskunde geef ik grif toe. U hebt echter nergens aangetoond dat het mij aan logica ontbreekt. Als u logica-fouten in een van mijn berichten hebt geconstateerd. Verzoek ik u beleefd deze aan te tonen. En niet zonder concrete argumentatie te beweren dat het mij aan kennis van de logica schort.
Evilbro
Wederom degene die serieus op mijn gedachten ingaat en met een concreet argument komt. Mijn veronderstelling dat het niet mogelijk is om een Dedekindsnede die een onmeetbaar getal definiëert door het verhuizen van rationele getallen van de hoge naar de lage klasse om te zetten blijkt dus niet te kloppen. Mijn fantasie schoot weer eens te kort. Bedankt voor dit voorbeeld.
Het blijkt dus wel te kunnen indien met tevoren weet welk onmeetbaar getal men wil bereiken. (in het voorbeeld de vierkantswortel uit 3). Dit doet mij echter vermoeden dat het betreffende onmeetbare getal niet wordt gedefiniëerd door de Dedekindsnede, maar dat de betreffende Dedekindsnede wordt gedefiniëerd door een onmeetbaar getal.
Er zijn ook onmeetbare getallen waarvan men een (eindig) aantal elementen van de fundamentaal(of Cauchy)rij kan berekenen door bij de reeds bekende elementen van een bestaande fundamentaalrij een rationeel getal op te tellen, of die elementen met een rationeel getal te vermenigvuldigen. Wellicht kan men ook hiervoor een verzameling rationale getallen beschrijven welke men op dezelfde manier van de hoge naar de lage klasse van een Dedekindsnede kan verhuizen teneinde het nieuwe onmeetbare getal te verkrijgen?
Uitgaande van het voorbeeld
[tex]C = \{c \in B : (c-2)^2 < 2 \}[/tex]
Dit moet m.i. het onmeetbare getal opleveren dat gelijk is aan wortel 2 + 2.
Ik weet niet of dit soort manipulaties ook kan met transcedente getallen zoals π.
