Interessant, de reden om precies 44100 Hz te kiezen was me niet bekend. Kun je dat verder uitleggen of een linkje geven?

Klopt, en je kunt het ook de andere kant op doen met samples die allemaal nul zijn, op 1 na die op het maximum zit (dirac functie). Dan krijg je juist resultaten voor iedere frequentie(bin). 
 
Maar voor praktisch gebruik zijn dergelijke extrema niet echt relevant. Als het gaat om het sampelen van audio is er wel wat discussie geweest bij het vaststellen van de CD standaard (tussen philips en sony), waarbij het ging over samplerates tussen ca 40 en 48 kHz, en bitdieptes tussen 14 en 16 bit. Eigenlijk zijn deze bij praktisch gebruik voor het gehoor compleet 'transparant', in de zin dat je niet kunt horen dat het signaal is opgeslagen en terug afgespeeld wordt vergeleken met directe (analoge) weergave van de bron naar de luidspreker. 
 
De 44100 Hz sampling rate lijkt heel raar maar is een heel praktische: het komt 'handig' uit voor zowel amerikaanse NTSC als rest-van-de-wereld PAL frequenties voor televisiebeeld met digitale audio daarbij: het is een getal met heel veel priemfactoren (2,3,5,7 - en hun kwadraten). Bovendien was de wens geluid tot 20kHz te kunnen reproduceren (geen volwassen mens die fatsoenlijk hoort voorbij 18 kHz, maar okay), en dat gaf een beetje ruimte voor het ontwerp van het anti-aliasing filter. 
 
Ruim 70 minuten geluid op een handzaam schijfje van 12 cm maakte het een beetje af, en we zitten nog steeds met die standaard terwijl je je best moet doen om een laptop met optische drive te vinden tegenwoordig

Je kunt het ook via Fouriertransformatie inzien.
Je hebt een oneindig lang doorlopende sinus met een exacte frequentie. Die geeft een haarscherpe piek in het frequentiedomein.
 
Je kunt er een sinus van maken die slechts 25 ms duurt door 'm te vermenigvuldigen met een blokfunctie die overal nul is behalve gedurende 25 ms, daar is die één.
 
In het frequentiedomein krijg je dan de convolutie van die scherpe piek en de transform van die blokfunctie. Dat is een Sinc-functie.
Dus die scherpe piek wordt breder.

Het is inderdaad wel een beetje vergelijkbaar: Je hebt oneindig veel samples en bins nodig om exacte frequenties te bepalen. Die bins zijn verder niet het probleem, die kosten alleen rekenkracht, geheugen en dergelijke, maar in bijv 1000 samples zit een beperkte set informatie. Stel dat er bijvoorbeeld een 10 Hz toon in het signaal had gezeten, dat had je die compleet gemist, afgezien van mogelijk wat aliasing effecten. 
 
Dit is echter allemaal nogal theoretisch, als je het gebruikt voor een leuke spectrumweergave oid gaat dat meestal via FFT en nog wat rekentrucs omdat je het spectrum meestal logaritmisch wilt hebben en dus slordiger kunt omgaan naarmate de frequenties hoger worden zonder dat dat visueel storend is. 

Als je 1000 samples hebt met een samplefrequentie van 40 kHz dan kijk je naar een tijdinterval van maar 25 ms.
De frequenties liggen niet exact vast als je naar een beperkt interval kijkt.
 
Dit is vergelijkbaar met de onzekerheidsrelaties in de kwantummechanica.
Het is daarom geen beperking van de Fourieranalyse maar een fundamentele zaak.

Je kunt de losse sinussen er weer uit vissen, inderdaad met fourier-analyse, en met beperkte nauwkeurigheid. Maar je hebt wel gelijk dat je daarvoor meerdere samples nodig hebt.
 
Laten we het gemakkelijk houden, we nemen 1000 samples en doen een fourier transformatie naar 1000 frequency-bins. Bij een samplerate van 40.000 Hz heb je dan 40 Hz per bin. Het oorspronkelijke signaal waren 2 even sterke sinussen bijvoorbeeld van 3 en 5 kHz. Na de analyse heb je ongeveer dit:
 
250 samples in de 2960-3000 bin
250 samples in de 3000-3040 bin
250 samples in de 4960-5000 bin
250 samples in de 5000-5060 bin
 
Die 250 gaan echter niet exact op 250 uitkomen als een een willekeurig blok van 1000 samples ergens midden uit het signaal pakt. Er zit een stukje onnauwkeurigheid in de verkregen informatie, maar je kunt dus wel redelijk goed terugrekenen welke tonen het waren. Maar of het 2999 of 3001 Hz was kun je niet herleiden uit 1000 samples. 

Het kan in Excel, dus hoogstwaarschijnlijk ook in Libreoffice.
 
Als je kunt programmeren of bereid bent dat te leren, uitstekende freeware is Octave (Matlab-kloon):
https://www.gnu.org/software/octave/download
 
en Python:
https://winpython.github.io/

Dat vind ik eigenlijk wel een grappig idee. k vraag me echt af of de computer de 7 verschillende frequenties er uit kan vissen, of dat hij met een heel andere reeks sinus-golven komt als benadering. Ik heb wel een oude computer die toch staat te verstoffen (windows xp geloof ik). Dus ook niet erg als die vastloopt in een oneindige berekening. Dan heb ik nog twee dingen nodig denk ik:
 
Een freeware programma waarmee ik verschillende sinusgolven over elkaar kan programmeren, bij elkaar optellen en het resultaat opslaan als lossless codec (bijvoorbeeld wav met 16 bit en 44,1 kHz)
 
En vervolgens een freeware programma waarmee ik de Fourier-analyse zou kunnen doen van deze ene wav-file.

Geen enkel probleem, zoals zowel de theorie als werkende CD-spelers en geluidkaarten aantonen.
 
Neem maar eens ruis op met je geluidskaart. Die wordt netjes gereproduceerd.
Die ruis bevat alle door jou genoemde frequenties (plus nog talloze andere).

nou heb ik een beetje gekke getallen gekozen. (3*3*1000)Hz, (11*1000)Hz, (13*1000)Hz, (3*5*1000)Hz, (17*1000)Hz, (19*1000)Hz en (3*7*1000)Hz.
 
die 1000 er achter is eigenlijk meer voor de vorm, het ging me om de getallen er voor. Laat je de drie achterste nullen buiten beschouwing, en ontbind je de getallen in factoren dan vind je de factoren 3,5,7,11,13,17,19.  Dit betekent toch dat de resulterende grafiek zichzelf pas herhaalt na 3*5*7*11*13*17*19 cycli? Dat zijn 4.849.845 cycli dus ruwweg na 5 miljoen cycli. Levert dat geen problemen op voor de reconstructie van deze 7 golven?

Wat je samplet is de som van die verschillende signalen. Bij muziek is dat de som van al de geluiden die de instrumenten en stemmen produceren.
Na reconstructie kun je daar de oorspronkelijke frequenties weer uit berekenen met Fourieranalyse.
 
Een signaal met maar één frequentie bevat heel weinig informatie: De frequentie, de amplitude en de fase.

Nou, ik bedoel het volgende: Elke golf waar muziek uit opgebouwd is, kun je beschouwen als informatie. Voor elke golf heb je een bepaalde hoeveelheid bits (enen en nullen) nodig om hem op te slaan. Een muziektrack bestaat uit ontzettend veel golven tegelijkertijd. Ik snap dat je elke losstaande golf kleiner dan 22.050 Hz kunt definiëren en ook weer reconstrueren uit het signaal van 44.100Hz. Bijvoorbeeld een golf van 19.000Hz kun je goed coderen en ook weer decoderen. Een golf van 17.000Hz net zo goed. Een golf van 21.000Hz ook. En een golf van 15.000Hz, 13.000Hz, 11.000Hz, 9.000Hz. Allemaal zijn ze afzonderlijk te coderen en te decoderen
 
Maar als je bijvoorbeeld deze 7 golven tegelijkertijd wilt coderen, opslaan, en vervolgens weer wilt decoderenmet deze samplerate. Heb je dan in principe wel genoeg enen en nullen beschikbaar op je harde schijf? Elke afzonderlijke golf vraagt immers nogal wat opslagruimte per seconde. Of kan je uit het gecodeerde totaalsignaal nooit meer exact de originele 7 golven reconstrueren? (9.000Hz, 11.000Hz, 13.000Hz, 15.000Hz, 17.000Hz, 19.000H, 21.000Hz)

Ik begrijp niet helemaal wat je bedoelt maar uit een gesampled signaal is het originele signaal altijd te construeren mits de hoogste frequentie in het originele signaal kleiner is dan de helft van de samplefrequentie. 
De nauwkeurigheid is, zoals Benm al aangeeft, afhankelijk van de nauwkeurigheid (bitdiepte) van de samples.
 
Bovendien moeten er voldoende samples ter weerszijden van het te reconstrueren signaal zijn. Als je, om een extreem voorbeeld te nemen, maar twee samples hebt kun je niet reconstrueren hoe het origineel halverwege tussen die punten was. 

Als je het theoretisch wilt benaderen moet het gehele oorspronkelijke signaal perfect te reconstrueren zijn. HOE je dat dat precies moet doen is overigens een apart vraagstuk, maar duidelijk is dat er een beperkte hoeveelheid informatie/seconde in een gegeven samplerate*bitdiepte "past". 
 
Qua muziek is het antwoord domweg: overkill. 16 bits @ 44.1 kHz sampled zo goed dat je gewoon geen hoorbaar verschil krijgt doordat er meerdere instrumenten tegelijk in zitten. Je kunt het verschil in theorie niet eens horen (of meten met een microfoon), tenzij je in een ruimte zit waarbij je 96 dB (~16 bits) dynamisch bereik hebt (dus zeg een omgeving van 30 dB, en een luistervolume van 126 dB). 
 
Maar goed, stel je zou een heel zacht signaaltje van 1 kHz willen meesturen met een stuk muziek, en daardoor wordt het niet dudsdanig luider dat het zal clippen. Vervolgens filter je dat er exact uit aan de ontvangende kant. Ik zei dus al: -zacht- signaaltje. Als je dat bijv 30 dB zachter maakt dan het totaal dan heb je ongeveer 10 bits amplitude voor dat signaal. Maar zou het 60 dB zijn dan heb je nog pakweg  6 bits over, en dat hoor door 'quantizing', je krijgt een vervorming die een beetje klinkt als clipping. 
 
Dit merk je alleen in extreme gevallen, je kan bijv met een audio editor eens een stuk muziek downsampelen naar 8 bits - dan hoor je wel een duidelijk verlies aan kwaliteit. 

Het is natuurlijk een nogal theoretische vraag die ik stel in dit topic, en niet erg praktisch. Maar misschien kun je de vraag reduceren tot de vraag of je altijd de buigpunten kunt bepalen en de hoogte van de golftoppen (amplitude). Heb je die, dan kun je golflengte en amplitude reconstrueren van elke golf in het digitale signaal.
 
De amplitude heeft dus te maken met de bitdiepte (16 bit of 24 bit bijvoorbeeld) En de buigpunten hebben te maken met de samplerate (44,1 KHz, of 192Kz bijvoorbeeld) Maar wat als een buigpunt bijvoorbeeld niet precies op 1 geluidspixel valt? Beter gezegd: als 2 buigpunten (van golven met verschillende frequenties) niet samenvallen in de oorspronkelijke golf, maar wel samenvallen in de digitale versie? Beide golven accuraat reconstrueren wordt dan misschien erg lastig.
 
Stel dat het principieel niet meer mogelijk is om een precieze reconstructie te maken van de twee golven. Waar ga je het effect dan in merken?