De oorspronkelijke vraag van Michel is nu al naar tevredenheid beantwoord. Maar mij interesseert ook de [i]wiskunde[/i] achter de stap in het vorige berichtje nog. Ik zal daar een apart wiskundig topic over openen.
Zie: [url=https://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/206727-moeilijke-stap-in-bewijs/]https://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/206727-moeilijke-stap-in-bewijs/[/url]

Ik kan de afleiding volgen op de onderstaande stap na:
 
[attachment=0]stap.png[/attachment]
 
Dat is nog even een puzzeltje. :?

Hier screenshots van de relevante bladzijden:
 
[attachment=1]1.png[/attachment]   [attachment=0]2.png[/attachment]
 
[size=85]bron: [url=https://archive.org/details/light032647mbp/page/n363]https://archive.org/details/light032647mbp/page/n363[/url][/size]

Inderdaad, daar is de afleiding van George Monk.
De extra term mag gezien zijn verwaarloosbare invloed weggelaten worden.
 
Ok! We zijn er uit, en mijn gemeten brekingsindex klopt O:).
 
Dank voor het meedenken!

Ik moet het nog bestuderen, maar dit lijkt op een afleiding:
 
[url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212224/page/n387]https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212224/page/n387[/url]

Ik heb nog eens goed naar die formule gekeken. De term N[sup]2[/sup].λ[sup]2[/sup]/4t heeft nauwelijks invloed (lamda[sup]2[/sup] is natuurlijk vreselijk klein), en kan i.t.t. wat in de link beschreven werd weggelaten worden voor een toch zeer nauwkeurig resultaat:

Volgens de link zou de afwijking bij 30 graden op kunnen lopen tot 1%: "increases with [i]θ[/i], reaching ~1% at [i]θ[/i] = 30°", maar dat klopt niet.

Ik heb het voor een aantal hoeken nagerekend, en de de invloed van die term blijft in het bereik tussen 1 tot 89 graden zeer beperkt: 1.10[sup]-9[/sup] tot 2.10[sup]-10[/sup], en is dus zo goed als verwaarloosbaar.

Dat levert dan een vereenvoudiging op tot: [tex]n=\frac{(2t-N\lambda )(1-cos \theta )}{2t(1-cos \theta )-N\lambda }[/tex]

Deze formule wordt ook elders gebruikt, zie de bijlage over dit onderwerp [u]pagina 16[/u]. Deze vereenvoudigde formule komt kennelijk uit:

Monk, George S. "Light-Principles and experiments." McGraw Hill Book Company, NY & London (1937)

Ik mag aannemen dat ze dus correct is. Maar ook in het attached paper wordt ze niet afgeleid.

 

Paper: [attachment=0]A Michelson interferometric technique for measuring refractive index.pdf[/attachment]

[attachment=0]licht2.png[/attachment]

 

Voor θ = [i]i[/i] = 45º = π/4 (rad) vinden we:

[tex] N \lambda = 2 \{ ( \mbox{AC} \cdot \mbox{n} - \mbox{S} ) - ( \mbox{t} \cdot \mbox{n} - \mbox{t} ) \} [/tex]

[tex] \frac{N \lambda}{2} = ( \mbox{AC} \cdot \mbox{n} - \mbox{S} ) - ( \mbox{t} \cdot \mbox{n} - \mbox{t} ) [/tex]

[tex] \frac{N \lambda}{2} = ( \mbox{AC} \cdot \mbox{n} - \mbox{S} ) - \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) [/tex]

[tex] \frac{N \lambda}{2} + \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) = \mbox{AC} \cdot \mbox{n} - \mbox{S} [/tex]

[tex] \frac{N \lambda}{2} + \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) = \mbox{AC} \cdot \mbox{n} - \mbox{AC} \cos \left ( \frac{\pi}{4} - b \right ) [/tex]

[tex] \frac{N \lambda}{2} + \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) = \mbox{AC} \cdot \left \{ \mbox{n} - \cos \left ( \frac{\pi}{4} - b \right ) \right \} [/tex]

 

Verder hebben we:

 

[tex] (\mbox{AC})^2 = {\mbox{t}^2 + (\mbox{AC} \sin(b))^2 [/tex]

 

[tex] (\mbox{AC})^2 = {\mbox{t}^2 + \left (\mbox{AC} \, \frac{\sin(i)}{\mbox{n}} \right )^2 [/tex]

 

[tex] (\mbox{AC})^2 = {\mbox{t}^2 + (\mbox{AC})^2 \, \frac{\sin^2(\theta)}{\mbox{n}^2} [/tex]

 

[tex] (\mbox{AC})^2 \, \left (1 \, - \, \frac{\sin^2(\theta)}{\mbox{n}^2} \right ) = {\mbox{t}^2 [/tex]

 

[tex] (\mbox{AC})^2 \, \left (1 \, - \, \frac{1}{2 \mbox{n}^2} \right ) = {\mbox{t}^2 [/tex]

 

[tex] (\mbox{AC})^2 = \frac{ \mbox{t}^2 }{ 1 \, - \, \frac{1}{ 2 \mbox{n}^2 } } [/tex]

 

[tex] \mbox{AC}= \frac{ \mbox{t}}{\sqrt{ 1 \, - \, \frac{1}{ 2 \mbox{n}^2 }} } [/tex]

 

 

 

[tex] b = \arcsin(\sin(b)) [/tex]

 

[tex] b = \arcsin \left ( \frac{\sin(i)}{\mbox{n}} \right ) [/tex]

 

[tex] b = \arcsin \left ( \frac{\sqrt{2}}{2 \mbox{n}} \right ) [/tex]

 

 

 

Dat ziet er niet fijn uit. Ik heb dan ook mijn twijfels of de formule uit je link wel klopt. (Of hebben we iets over het hoofd gezien?) Wat we nog wel kunnen doen is [i]N[/i] als een functie van n schrijven. Zodra je die grafiek hebt kun je dan n bij gegeven [i]N[/i] terugzoeken.

 

 

[tex] \frac{N \lambda}{2} + \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) = \mbox{AC} \cdot \left \{ \mbox{n} - \cos \left ( \frac{\pi}{4} - b \right ) \right \} [/tex]

 

[tex] \frac{N \lambda}{2} = \mbox{AC} \cdot \left \{ \mbox{n} - \cos \left ( \frac{\pi}{4} - b \right ) \right \} - \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) [/tex]

 

[tex] N = \frac{2}{\lambda} \cdot \left ( \mbox{AC} \cdot \left \{ \mbox{n} - \cos \left ( \frac{\pi}{4} - b \right ) \right \} - \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) \right ) [/tex]

 

[tex] N = \frac{2}{\lambda} \cdot \left ( \frac{ \mbox{t}}{\sqrt{ 1 \, - \, \frac{1}{ 2 \mbox{n}^2 }} } \cdot \left \{ \mbox{n} - \cos \left ( \frac{\pi}{4} - \arcsin \left ( \frac{\sqrt{2}}{2 \mbox{n}} \right ) \right ) \right \} - \mbox{t} \cdot (\mbox{n} - 1) \right ) [/tex]

 

 

(Misschien is er ook nog iets met het [i]Principe van Fermat [/i]mogelijk, maar met die aanpak ben ik niet bekend.)

Dat is wat mij betreft afdoende.

Gaat het je alleen om het geval θ = 45º ?
 
Mogelijk is er dan wel (zonder een enorme rekenpartij) een formule te vinden...?

Ik zie er geen fouten in.
 
Inmiddels heb ik de fout in mijn redenering wel gevonden:
Het extra pad dat het licht door het glasplaatje aflegt a.g.v. de hoek van 45 graden is niet eenvoudigweg 2 * (√2-1) * 0,14 mm (A-D in de afbeelding) maar een stuk korter (B-D in de afbeelding). Dat verhoogt de uitkomst voor de brekingsindex natuurlijk.
 
[attachment=0]3.jpg[/attachment]

In de tekening staan al aangegeven:
 
- De hoeken i (van inval), b (van breking) en θ (van verdraaiing van het glasplaatje)
- De afstanden t (dikte glasplaatje), S (de "horizontaal" afgelegde afstand in het glas) , AB, BC en AC
 
Verder hebben we:
 
- c is de lichtsnelheid in vacuüm
- n is de brekingsindex van glas
- λ is de golflengte van het gebruikte licht
- [i]N[/i] is het aantal golflengten die de aankomende lichtstraal verschuift als gevolg van het verdraaien van het glasplaatje over de hoek θ

Kan je de diverse gebruikte symbolen even netjes benoemen?
Zo is het voor mij heel lastig lezen.

Ik ben er nog niet in geslaagd de formule af te leiden maar het lijkt me dat we van onderstaande uit moeten gaan:
[attachment=0]licht.png[/attachment]
 
Als we het verschil tussen de lichtsnelheid in vacuüm en in lucht en het effect dat de "verticale" positie van de lichtstraal door het verdraaien van het glasplaatje ook iets wordt verschoven verwaarlozen wordt de verschuiving van de [i]fringes[/i] veroorzaakt doordat het licht door het verdraaide glasplaatje een iets langere weg neemt. Voor loodrechte passage van het glasplaatje duurt de passage van het licht een tijdje T[sub]L[/sub] met:

 

[tex] \frac{\mbox{c}}{\mbox{n}} \cdot \mbox{T}_L = \mbox{t} [/tex]
 
[tex] \mbox{T}_L = \mbox{t} \cdot \frac{\mbox{n}}{\mbox{c}} [/tex]

 

Dat is een tijdje d[sub]1[/sub] langer dan bij afwezigheid van het glasplaatje. Waarbij:

 

[tex] \mbox{d}_1 = \mbox{T}_L - \frac{\mbox{t}}{\mbox{c}} [/tex]

 

[tex] \mbox{d}_1 = \mbox{t} \cdot \frac{\mbox{n}}{\mbox{c}} - \frac{\mbox{t}}{\mbox{c}} [/tex]

 

Bij de passage van een verdraaid glasplaatje duurt de passage van het licht een tijdje T(θ) met:

 

[tex] \frac{\mbox{c}}{\mbox{n}} \cdot \mbox{T}(\theta) = \mbox{AC} [/tex]

 

[tex] \mbox{T}(\theta) = \mbox{AC} \cdot \frac{\mbox{n}}{\mbox{c}} [/tex]

 

Dat is nu een tijdje d[sub]2[/sub] langer dan bij afwezigheid van het verdraaide glasplaatje. Zodat:

 

[tex] \mbox{d}_2 = \mbox{T}(\theta) - \frac{\mbox{S}}{\mbox{c}} [/tex]

 

[tex] \mbox{d}_2 = \mbox{AC} \cdot \frac{\mbox{n}}{\mbox{c}} - \frac{\mbox{S}}{\mbox{c}} [/tex]

 

 

Het tijdsverschil ΔT voor het afleggen van de lichtbaan in de gevallen van het verdraaide en het loodrechte glasplaatje is dus:

 

[tex] \Delta \mbox{T} = 2 (\mbox{d}_2 - \mbox{d}_1) [/tex]

 

(Met een factor 2 omdat het licht er twee keer door gaat.

 

[tex] \Delta \mbox{T} = 2 \left ( \left ( \mbox{AC} \cdot \frac{\mbox{n}}{\mbox{c}} - \frac{\mbox{S}}{\mbox{c}} \right ) - \left ( \mbox{t} \cdot \frac{\mbox{n}}{\mbox{c}} - \frac{\mbox{t}}{\mbox{c}} \right ) \right ) [/tex]

 

[tex] \mbox{c} \Delta \mbox{T} = 2 (( \mbox{AC} \cdot \mbox{n} - \mbox{S} ) - ( \mbox{t} \cdot \mbox{n} - \mbox{t} ) ) [/tex]

 

[tex] N \lambda = 2 (( \mbox{AC} \cdot \mbox{n} - \mbox{S} ) - ( \mbox{t} \cdot \mbox{n} - \mbox{t} ) ) [/tex]

 
 
[i]Tot zover mee eens? [/i]

Ik wilde de brekingsindex van een dekglaasje voor een microscooppreparaat vaststellen. Daarvoor heb ik mijn interferometer gebruikt, als volgt:
 
[attachment=3]Brekingsindex.jpg[/attachment][attachment=1]Brekingsindex 3.jpg[/attachment]
 
Het glaasje exact haaks tussen de 50/50 spiegel en een van de gewone spiegels geplaatst, zoals boven en gezorgd dat ik mooie ronde fringes kreeg met een volle cirkel in het midden. Vervolgens het dekglaasje langzaam 45 graden geroteerd, en het verloop van de hele fringes geteld, het waren er 68.
 
De dikte van het dekglaasje was 0,14 mm, zodat de toename van de padlengte door het glas (heen- en terugweg) 2 * (√2-1) * 0,14 mm = 0,11598 mm werd. Op grond van de golflengte van 532 nm (groene laser) en het fringeverloop (68) dacht ik zo vrij eenvoudig aan de brekingsindex van het plaatje te komen, maar dat viel tegen.
 
Uiteindelijk [url=http://vlab.amrita.edu/index.php?brch=189&cnt=1&sim=1519&sub=1]HIER[/url] deze formule gevonden: [attachment=2]mic%20new%206.jpg[/attachment]
 
t = dikte glasplaatje
N = getelde fringes
λ = golflengte
θ = hoek t.o.v. laserstraal (45 graden)
 
De uitkomst van deze formule is n = 1,5581 en daarmee een reële waarde voor normaal glas.
 
Vragen:
1: Is er geen eenvoudiger manier om op basis van mijn meetresultaten tot de brekingsindex te komen?
Zo nee,
2: De afleiding van de formule is in het aangehaalde artikel niet gegeven, en ik begrijp de nogal complexe opbouw niet. Wie wel?
3: Waarom houdt de volgende redenering geen stand: In een stukje lucht (n=nagenoeg 1) ter dikte van de extra hoeveelheid glas na rotatie tot 45 graden (0,11598 mm) passen bij 532 nm golflengte 218 golven bij snelheid c. Ik telde 68 golven meer nu het licht door glas ging, dus 286 golven. Dus is de snelheid van het licht door het glasplaatje 218/286 * c = 0,762 c. Brekingsindex 1/0,784 = 1,312.
Helaas is dit een veel te laag getal voor glas, en het komt zeker niet overeen met uitkomst van de formule hierboven. Dus maak ik waarschijnlijk een fout. Waar?
 
Aanvankelijk dacht ik het verschil te kunnen verklaren a.d.h.v. de met de frequentie van het licht verlopende brekingsindex. In aangehaalde formule speelt de golflengte immers zijn rol. Maar bij de bepaling van n wordt 582 nm gehanteerd, terwijl ik 532 nm gebruikte. Het daardoor ontstane verschil in n is echter veel te klein en zou ik dus ook op ruwweg n = 1,5 uit moeten komen:
 
[attachment=0]The-refractive-index-as-a-function-of-the-wavelength-for-glass-BK7.png[/attachment]

Het verschil als geschetst in bericht 25 is zeer goed zichtbaar:
 
[attachment=1]parasitaire reflecties 50-50 spiegel.jpg[/attachment]
 
Afbeelding: onderste deel als geschetst in de linker schets, bovenste als in de rechter schets.
 
De opstelling was heel eenvoudig. Laser -> zwart plaatje met rond gaatje van 1 mm -> 50/50 spiegel -> lens -> projectiescherm:
 
[attachment=0]IMG_20180227_191239162_HDR.jpg[/attachment]