Noem hoek PBQ = beta, dan is
\(\tan \beta = \frac{PQ}{BQ} \frac{r \sin \varphi}{R+r \cos \varphi} = \tan \alpha\)
waarmee we PBQ gelijk kunnen stellen aan alpha (voor het net nog bewijzen dat er geen verschil van 180 graden in zit)
Volgens de definitie in het boek is de resultante snelheid de optelling van de snelheid in rechtlijnige beweging omega R, met die van de rotatie omega r.
De omega's zijn hetzelfde, want beide cirkels hebben dezelfde hoeksnelheid.
Leg de vector omega R op de x-as, met beginpunt in de oorsprong,
teken dan vanaf het eindpunt de vector omega r onder een hoek phi naar rechtsboven,
dan is snelheid v de vector van de oorsprong naar het eindpunt van phi r.
Deze 3 vormen een driehoek, waarvan zijde omega R, hoek (180-phi) en zijde omega r bekend zijn.
Dus via de cosinusregel:
\(v^2 = (\omega R)^2 + (\omega r)^2 - 2(\omega R)(\omega r) \cos (180-\varphi)\)
en dit is gelijk aan het resultaat in het boek:
\(v^2 = \omega^2 R^2 + \omega^2 r^2 + 2\omega^2 r R \cos \varphi\)
Daarnaast hebben we:
\( BP^2 = BQ^2 + QP^2 = (R+r\cos \varphi)^2 + (r\sin \varphi)^2 \)
\(= R^2 + 2rR\cos \varphi + r^2 \cos^2 \varphi + r^2\sin^2 \varphi\)
\(= R^2 + 2rR\cos \varphi + r^2 (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi)\)
\(= R^2 + 2rR\cos \varphi + r^2\)
Waarmee snelheid
\(v = \omega \cdot BP\)
