Neem A een willekeurige nxn-matrix met natuurlijke getallen.
Neem E de eenheidsmatrix waarbij de eerste 2 rijen gewisseld zijn. Er geldt E²=I (I=eenheidsmatrix).
Nu kan je schrijven:
A=A.I=A.E²=(A.E).E
Deze ontbinding is niet A.I, want E is niet I.
Als deze ontbinding ook niet I.A is, dan heb je een ontbinding die voldoet en is A dus niet priem.
Het enig geval dat dus kan mislopen is het geval {A=E, A.E=I}, maar als A=E, dan is automatisch A.E=I.
De enige matrix die priem kan zijn is dus E.
Maar als n>2, kunnen we E=(E.F).F schrijven, waarbij F de eenheidsmatrix is waarbij rij 2 en rij 3 verwisseld zijn, en hierin is geen van de factoren de eenheidsmatrix, dus E is niet priem.
Als n=2, is er zo geen F. Dus de enige mogelijke matrix die aan jouw definitie van priem kan voldoen is de 2x2-matrix met 0 op de hoofddiagonaal en 1 op de nevendiagonaal. Als je deze matrix probeert te schrijven als X.Y (door een stelsel op te lossen), vind ik dat X=I of Y=I. Die is dus priem. De matrix die tempelier vond, is blijkbaar de enige.
Hopelijk heb ik hier geen lapsus geschreven door late-uur-verdwaasdheid. Bekijk het maar eens.

Een evenredigheidsmatrix bevat minstens twee rijen of twee kolommen (vectoren) die lineair afhankelijk zijn.
(In de onderbouw van de middelbare school zijn alle rijen lineair afhankelijk.)
Ik ga uit van natuurlijke getallen in een n bij n matrix met n is natuurlijk en > 1.

Over welke verzameling gaat de vraag eigenlijk? Alle nxn-matrices met natuurlijke getallen (of reële getallen), of zijn er nog voorwaarden die moeten gelden, zoals determinant = 1?
Wat bedoel je met een evenredigheidsmatrix?

Kunt u het hier mee eens zijn?
Elke vierkante evenredigheidsmatrix is een priemmatrix.
Hun determinant is nul.

Ik denk dat ze bestaan, denk er eentje gevonden te hebben.

M(2,2)

op de bijdiagonaal 1 de rest 0.

Maar ga het straks nog even narekenen.

Als je enkel naar diagonaal matrices kijkt lijkt de oplossing mij vrij triviaal.
(Dit lijkt zeer hard op een scalaire vermenigvuldigingen)
je kan vervolgens de stellingen voor diagonaal matrices veralgemenen naar diagonaliseerbare matrices.
Of de matrix al dan niet een "priem matrix" is hangt dan af van de eigenwaarden van de matrix.
Dus de enige regel is dan dat de matrix diagonaliseerbaar is, en enkel gehele getallen als eigenwaarden heeft.

Natuurlijke getallen zijn te verdelen in priemgetallen en samengestelde getallen.
Samengestelde getallen kunnen op minstens één manier worden ontbonden in factoren.
De ontbinding n = 1 x n laat ik buiten beschouwing.

Kunnen vierkante matrices ook altijd ontbonden worden in twee andere matrices? Met andere woorden, bestaan er ook priemmatrices? Zo ja, welke?
Bij ontbinding laten we de eenheidsmatrix maal de oorspronkelijke matrix natuurlijk buiten beschouwing.

Omdat de vermenigvuldiging van matrices niet commutatief is, moet er wellicht over linkspriem en rechtspriem gesproken worden.