door Xilvo » zo 21 aug 2022, 10:39
Stel dat de integratiegrenzen in de x-richting
\(0\) en
\(2\) zijn. Dan krijg je deze grafiek:
- schil 1301 keer bekeken
Je wil dan het volume weten als het deel onder de grafiek tussen
\(x=0\) en
\(x=2\) om de x-as wordt gewenteld.
Bij de schilmethode integreer je langs de y-as en bereken je steeds het volume van een cilinderschil.
De dikte van de schil is
\(dy\), de straal is
\(y\) dus de omtrek is
\(2.\pi.y\) en de breedte is de lengte in de x-richting,
\(h(y)\).
De integatiegrenzen (van en tot waardes in de y-richting) zijn hier
\(0\) en
\(\ln(2+1)\)
\(h(y)\) is de lengte binnen het omwentelingslichaam in de x-richting. Voor
\(y=0\) is die
\(2\) (zie figuur), voor
\(y=0,4\) is die ongeveer
\(2-0,49=1,51\) en voor
\(y=ln(2+1)=1,0986\) is die
\(0\).
Kijk eens of je hier zelf
\(h(y)\) mee kunt bepalen.
De integraal wordt dan
\(2 \pi \int_0^{\ln(x+1)} y h(y) dy\)Stel dat de integratiegrenzen in de x-richting [itex]0[/itex] en [itex]2[/itex] zijn. Dan krijg je deze grafiek:
[attachment=0]schil.png[/attachment]
Je wil dan het volume weten als het deel onder de grafiek tussen [itex]x=0[/itex] en [itex]x=2[/itex] om de x-as wordt gewenteld.
Bij de schilmethode integreer je langs de y-as en bereken je steeds het volume van een cilinderschil.
De dikte van de schil is [itex]dy[/itex], de straal is [itex]y[/itex] dus de omtrek is [itex]2.\pi.y[/itex] en de breedte is de lengte in de x-richting, [itex]h(y)[/itex].
De integatiegrenzen (van en tot waardes in de y-richting) zijn hier [itex]0[/itex] en [itex]\ln(2+1)[/itex]
[itex]h(y)[/itex] is de lengte binnen het omwentelingslichaam in de x-richting. Voor [itex]y=0[/itex] is die [itex]2[/itex] (zie figuur), voor [itex]y=0,4[/itex] is die ongeveer [itex]2-0,49=1,51[/itex] en voor [itex]y=ln(2+1)=1,0986[/itex] is die [itex]0[/itex].
Kijk eens of je hier zelf [itex]h(y)[/itex] mee kunt bepalen.
De integraal wordt dan [itex]2 \pi \int_0^{\ln(x+1)} y h(y) dy[/itex]
