David schreef:
Euler (neem ik aan) is vergeten dat
\(\sum_{k=0}^{\infty} x^k=\frac{1}{1-x}\)
voor |x|<1.
Probeer je in te leven in die tijd.
Zoals de onderwerptitel aangeeft waren begrippen als convergentie of divergentie onbekend.
Om b.v. de som
\(0!-1!+2!-3!+4!-5!+\cdots\)
te berekenen gaf hij een aantal afleidingen.
Al die afleidingen leidden naar eenzelfde getal S, waaruit hij concludeerde dat die som buiten elke redelijke twijfel S
moest zijn temeer daar dat getal S een ingewikkelde uitdrukking is waarin o.a. het getal
\(e\)
en Euler's constante
\(\gamma\)
voorkomt.
Wat je onder de som van een reeks verstaat is een kwestie van interpretatie en afspraken. In die tijd zag men dat men de som van een reeks soms steeds dichter kon benaderen door alsmaar meer termen mee te nemen,
maar soms kon dat niet op die manier. Wat is dan de betekenis van b.v.
\(0!-1!+2!-3!+4!-5!+\cdots ?\)
Volgens Euler moest je het algebraisch benaderen. Er geldt algebraïsch
\(\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+\cdots\)
.
Vervolgens mag je elke waarde voor x invullen b.v. x=1. Dan is
\(1+1+1+\cdots = \infty\)
.
Hij zag
\(\infty\)
als een getal en in die tijd was
\(\frac10 = \infty\)
.
De methode was consistent, niet tegenstrijdig, en dat is wat van belang is.
De begrippen convergentie en divergentie zijn pas ontstaan tegen het einde van de 19-de eeuw toen men heel pietluttig de wiskunde formeel ging opzetten, mede omdat vrijheid blijheid tot ongerijmdheden leidde.
David schreef:
Maar leuke gedachten, hoe heeft Euler
\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\)
gedefinieerd?
Euler gaf de volgende bizarre interpretatie van differentialen:
\(s = 1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac{1}{n-1}\)
De stapgrootte is 1 dus in dit discrete geval is
\(dn = 1\)
.
Dan is
\(ds = \frac{1}{n} = \frac{1}{n}dn\)
.
""integreren""
\(s = \ln(n) + C\)
Om die constante C te vinden bedacht hij de volgende brilliante methode:
\(\ln(1+x) = x - \frac12 x^2 + \frac13 x^3 - \frac14 x^4 + \cdots\)
(-1 invullen geeft dat
\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = \infty\)
).
Dan is
\(\ln(1+\frac1x) = \frac1x - \frac{1}{2 x^2} + \frac{1}{3 x^3} - \frac{1}{4 x^4} + \cdots\)
ofwel
\(\frac1x = \ln(\frac{1+x}{x})+ \frac{1}{2 x^2} - \frac{1}{3 x^3} + \cdots\)
Sommeer nu beide leden van x=1 t/m n:
\(1+\frac12 + \cdots + \frac1n = \ln(n+1) + \frac12(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots) - \frac13(1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots)+\cdots\)
Dus
\(C = \frac12(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots) - \frac13(1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots)+\cdots\)
