Bewijs van een unieke 'engster Querschnitt' die bovendien door M gaat:
[1] Er is slechts 1 'engster Querschnitt' (= eQ):
Stel er zijn 2 lijnstukken eQ, dan kan je daarmee een vierhoek maken door de vier eindpunten op beide ellipsen daarvan met elkaar de verbinden. Omdat de twee ellipsen beide deels door deze vierhoek lopen moet er een kortere verbinding tussen de ellipsen bestaan die binnen die vierhoek ligt. De oorspronkelijke twee eQ's kunnen daardoor niet de juiste eQ's zijn.
[2] De eQ loopt door M:
Stel de eQ loopt niet door M, maar links of rechts daarvan.
Wegens 180 graden rotatie-symmetrie van de 2 ellipsen om M moet er dan een even lange eQ zijn aan de andere kant van M. Volgens [1] kan dat niet, dus moet de eQ door M lopen.
Afleiding formule kortste afstand:
We willen |MP| minimaliseren, dit is gelijk aan |MP|^2 minimaliseren, dus moet gelden:
\(\frac{\text{d}}{\text{d} p_x}\left[ (p_x-m_x)^2 + (p_y-m_y)^2 \right] = 0\)
Omdat P op de bovenste helft van de ellips met middelpunt O ligt moet:
\(\frac{p_x^2}{a^2}+\frac{p_y^2}{b^2}=1\)
dus
\(p_y^2=b^2\left(1 - \frac{p_x^2}{a^2}\right) = b^2 -\frac{b^2}{a^2}\cdot p_x^2\)
en
\(p_y=b \cdot \sqrt{1 - \frac{p_x^2}{a^2}}\)
Samen met
\(\frac{\text{d}}{\text{d} p_x}\left[ (p_x-m_x)^2 + p_y^2 - 2m_y p_y + m_y^2 \right] = 0\)
levert dit:
\(\frac{\text{d}}{\text{d} p_x}\left[ (p_x-m_x)^2 + b^2 - \frac{b^2}{a^2}\cdot p_x^2 - 2m_y \cdot b \cdot \sqrt{1 - \frac{p_x^2}{a^2}} + m_y^2 \right] = 0\)
ofwel
\(2(p_x-m_x) - 2\cdot \frac{b^2}{a^2}\cdot p_x - 2m_y \cdot b \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{p_x^2}{a^2}}}\cdot \frac{-2}{a^2} \cdot p_x= 0\)
ofwel
\(\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)p_x - m_x + m_y \cdot \frac{b}{a}\cdot \frac{p_x}{\sqrt{a^2-p_x^2}} = 0\)
Op welke engster Querschnitt kom je met je voorbeeld uit?
