Donkiesjot schreef:Door het gebruik van i, met de eenvoudige eigenschap i*i=-1 en dus ook √-1=i, vinden we een generalisatie tussen een vector in R2 en een rotatie-vermenigvuldiging in R2.
Opmerking: het is gebruikelijk om i te definiëren aan de hand van de eigenschap i² = -1. Voor √-1 = a+bi geldt na kwadrateren dat a²-b² = -1 en a·b = 0, dus a = 0 of b = 0. Uit a = 0 volgt dat b² = 1, dus b = 1 of b = -1, dus √-1 = i of √-1 = -i. De wortel uit een negatief getal heeft dus blijkbaar geen eenduidige waarde.
Donkiesjot schreef:Schrijven we de vector (a,b) als a+i.b dan kan dat ook gezien worden als de rotatie over een hoek groot tan-1(b/a)
gevolgd door een scalaire vermenigvuldiging groot √(a2+b2).
Voor z = a+bi betekent dat dus dat |z|=\sqrt{a^2+b^2} en \arg z=\arctan\frac{b}{a}. Met |z| = r en arg z = φ kunnen we dus schrijven dat z = r(cos φ+i·sin φ). Volgens de stelling van De Moivre geldt dan ook dat z^n=r^n(\cos n\cdot\phi+i\cdot\sin n\cdot\phi).
Donkiesjot schreef:Overweging: " bestaat er ook in R3 zo'n generalisatie? ".
Nee, het is wel mogelijk om in ℝ⁴ iets dergelijks tot stand te brengen door 3 getallen i, j en k in te voeren met de eigenschap dat i² = j² = k² = i·j·k = -1. Je kunt dan met behulp van 4 reële getallen a, b, c en d een quaternion q = a+bi+cj+dk definiëren. De verzameling quaternionen duiden we aan met ℍ. Vermenigvuldiging is in ℍ niet meer commutatief, maar wel associatief.
[quote="Donkiesjot"]Door het gebruik van i, met de eenvoudige eigenschap i*i=-1 en dus ook √-1=i, vinden we een generalisatie tussen een vector in R2 en een rotatie-vermenigvuldiging in R2.[/quote]
Opmerking: het is gebruikelijk om i te definiëren aan de hand van de eigenschap i² = -1. Voor √-1 = a+bi geldt na kwadrateren dat a²-b² = -1 en a·b = 0, dus a = 0 of b = 0. Uit a = 0 volgt dat b² = 1, dus b = 1 of b = -1, dus √-1 = i of √-1 = -i. De wortel uit een negatief getal heeft dus blijkbaar geen eenduidige waarde.
[quote="Donkiesjot"]Schrijven we de vector (a,b) als a+i.b dan kan dat ook gezien worden als de rotatie over een hoek groot tan-1(b/a)
gevolgd door een scalaire vermenigvuldiging groot √(a2+b2).[/quote]
Voor z = a+bi betekent dat dus dat [formule]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/formule] en [formule]\arg z=\arctan\frac{b}{a}[/formule]. Met |z| = r en arg z = φ kunnen we dus schrijven dat z = r(cos φ+i·sin φ). Volgens de stelling van De Moivre geldt dan ook dat [formule]z^n=r^n(\cos n\cdot\phi+i\cdot\sin n\cdot\phi)[/formule].
[quote="Donkiesjot"]Overweging: " bestaat er ook in R3 zo'n generalisatie? ".[/quote]
Nee, het is wel mogelijk om in ℝ⁴ iets dergelijks tot stand te brengen door 3 getallen i, j en k in te voeren met de eigenschap dat i² = j² = k² = i·j·k = -1. Je kunt dan met behulp van 4 reële getallen a, b, c en d een quaternion q = a+bi+cj+dk definiëren. De verzameling quaternionen duiden we aan met ℍ. Vermenigvuldiging is in ℍ niet meer commutatief, maar wel associatief.
