Gast schreef: ↑za 31 mei 2025, 19:02
Starre lichamen bestaan überhaupt niet, ook niet klassiek, alleen kun je daar nog net doen alsof. Maar in de relativiteitstheorie gaat dat echt niet meer. Daar moet informatie zich met eindige snelheid voortplanten, dus ook krachten of vervormingen. Vandaar dat men iets heeft bedacht als Born rigiditeit; mede ter voorkoming van misvattingen door intuïtie. (Waar je misschien beter een specifiek topic over kunt starten.)
In deze setup kun in klassieke mechanica rekenen met een meetlat als één object met een bepaaldestijfheiden dus rek, en bijvoorbeeld gewoon de wet van Hooke gebruiken voor een hangende lat. Maar als je, zoals hier, géén enkele verwaarlozing wil doen, dus ook niet die van relativistische effecten op elasticiteit dan is een van de eerste gevolgen: een inertiaalstelsel bestaat niet meer. Want die zijn alleen lokaal geldig, en lokaal kun je veel doen, maar geen complete meetlat beschrijven die over meerdere coördinatenpunten tegelijk reikt. Dus moet je werken met
globale begrippen.
En daarmee komen het "problematische" punt: lengte is niet absoluut in de relativiteitstheorie.
Je kunt dan pas een lengte definiëren als je kiest over welk ruimteachtig hyperoppervlak je integreert. Gelijktijdig hangt af van het coördinatenstelsel, van het zwaartekrachtsveld, of van een versnellend stelsel waarin je meet.
Dus zul je eerst een stelsel moeten kiezen waarbij de lengte op een tijdstip gelijktijdig is. Dan kun je zeggen: de lengte is de integraal over de wereldlijn van de meetlat binnen dat ruimteachtige hyperoppervlak:
\(L = \int \sqrt{g_{ij} dx^i dx^j}\)
Korte toelichting:
Als je lengte wil definiëren in de relativiteitstheorie, dan heb je een ruimteachtige kromme nodig (niet per se een wereldlijn in de klassieke zin, die is tijdachtig). Je werkt dan met:
\(ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu\)
En dan definieer je de lengte langs een ruimteachtig pad als:
\(L = \int \sqrt{ds^2} \quad \text{(mits } ds^2 > 0\text{)}\)
Die kromme ligt volledig binnen een ruimte-achtig hyperoppervlak van gelijktijdigheid, dus binnen één “nu” volgens een bepaald stelsel. Dat is cruciaal. Zonder een dergelijk vlak kun je geen zinnige lengte definiëren in een gekromde of versnelde ruimtetijd. Waarbij je dus strikt binnen één 'nu' in jouw gekozen coördinatenstelsel blijft.
.
Dus de hangende meetlat is in rust (tov) in een zwaartekrachtsveld en ondervindt spanning. Hij vervormt, niet alleen klassiek (Hooke), maar ook meetkundig, want het lokale
\(dx\) hangt af van de metriek
\(g_{ij}\), die varieert met hoogte. Dus: ja, hij is (uiteraard) langer dan een liggende lat. Niet klassiek, niet semi klassiek, maar echt in termen van ruimtetijd, wereldlijnen en ruimteachtige oppervlaktes van gelijktijdigheid.
En dus nee, een tweede meetlat gebruiken is niet triviaal. Dan moet je ook zeggen: waar is die, hoe beweegt die, en volgens wie is dat "gelijktijdig"?
