Tot nu toe gaat het goed met het bestuderen van [i]A First Course in General Relativity[/i] van Bernard Schutz. Ben nu met de opgaven over vier-vectoren bezig.

Juist!

Dat boek kan je helemaal lezen, want daar staat niet veel in dat overbodig is.

Mooi! Dan wordt die het. :D

Dat boek heb ik ook. Is heel goed.

Ik ga verder met onderstaande boek:

https://www.bol.com/nl/nl/f/a-first-course-in-general-relativity/30196575/

Dat boek heb ik al, en dat lijkt mij efficiënter.

Nee, dat heeft niet speciaal iets met relativiteit te maken. Je kan dat overslagen.

Ik vrees dat ik met dit boek nu toch weer op een dwaalspoor zit. :shock: Mooie wiskunde allemaal. Maar het lijkt wel of het boek een maximale omweg naar de Einsteinvergelijking kiest. En tensoren zijn nog niet eens langs gekomen. Dit is alweer de volgende lading opgaven:

[attachment=1]1.png[/attachment]
[attachment=0]2.png[/attachment]

Heb je dat echt nodig? Ik heb dat allemaal ook al in andere meer gespecialiseerde wiskundeboeken.

7. Laat M een inverteerbare 2x2-matrix zijn met eigenvectoren X[sub]i[/sub] en bijbehorende eigenwaarden λ[sub]i[/sub]. En laat Y[sub]j[/sub] de eigenvectoren van M[sup]-1[/sup] zijn en μ[sub]j[/sub] de bijbehorende eigenwaarden. Veronderstel verder nog dat de eigenwaarden μ[sub]j[/sub] ongelijk nul zijn. Dan hebben we:

[itex] \mathrm{M} \, \mathrm{M}^{-1} = \mathrm{I} [/itex]

[itex] \mathrm{M} \, \mathrm{M}^{-1} \mathrm{Y}_j = \mathrm{I} \, \mathrm{Y}_j [/itex]

[itex] \mathrm{M} \, \mu_j \mathrm{Y}_j = \mathrm{Y}_j [/itex]

[itex] \mu_j \, \mathrm{M} \,\mathrm{Y}_j = \mathrm{Y}_j [/itex]

[itex] \mathrm{M} \,\mathrm{Y}_j = \mu_j^{-1} \, \mathrm{Y}_j [/itex]

Dus M en M[sup]-1[/sup] hebben dezelfde eigenvectoren en de eigenwaarden van M zijn de omgekeerden van die van M[sup]-1[/sup].

6. Hebben we al bewezen.

5.

[itex] \mathrm{F} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} [/itex]

Wegens de geometrische betekenis van de flip-matrix vermoed ik:

[itex] \mathrm{X}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/itex]

[itex] \mathrm{X}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/itex]

Eens zien:

[itex] \mathrm{F} \mathrm{X}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/itex]

[itex] \mathrm{F} \mathrm{X}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/itex]

[itex] \mathrm{F} \mathrm{X}_1 = 1 \cdot \mathrm{X}_1 [/itex]


[itex] \mathrm{F} \mathrm{X}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/itex]

[itex] \mathrm{F} \mathrm{X}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} [/itex]

[itex] \mathrm{F} \mathrm{X}_2 = -1 \cdot \mathrm{X}_2 [/itex]

Op hoop van zegen dan maar de volgende opgaven:

[attachment=0]5-9.png[/attachment]

De eenvoudige bewijsjes zoals de deze zie ik zo. AI lost quasi alles op, dus dat kan je ook altijd gebruiken.

Alternatief is trouwens dat je ervan gebruik maakt dat een symmetrische matrix diagonaliseerbaar, dus er bestaat een orthonormale basis van eigenvectoren. Als de twee eigenwaarden gelijk zijn: \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\), dan is de matrix \(M\) diagonaaliseerbaar naar

$$
D = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \lambda I
$$


$$
M = Q D Q^T = Q (\lambda I) Q^T = \lambda (Q Q^T) = \lambda I
$$

Ah - nu zie ik het, daaruit volgt: a=d en b=0.

Hoe zie je dat allemaal? Ervaring, AI, of nog iets anders?

Je kan voor

$$
M=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]b&d\end{pmatrix}
$$

de karakteristieke veelterm uitrekenen en opleggen dat de discriminant nul is omdat je een dubbel nulpunt moet hebben. Dat legt een verband tussen de coëfficiënten.

Er zijn mooiere bewijzen, maar dat is het simpelste.