Hier de uitwerking van chatgpt met 2 multiplicatoren. Misschien helpt dat.
We willen de meest waarschijnlijke verdeling \(f(v)\) van snelheden \(v\) vinden, onder de volgende voorwaarden:
1. **Aantal deeltjes is constant:**
$$
\int f(v)\,dv = N
$$
2. **Totale energie is constant:**
$$
\int \tfrac{1}{2} m v^2 f(v)\,dv = E
$$
Deze beperkingen worden ingevoerd met **twee Lagrange-multiplicatoren**: \(\alpha\) en \(\beta\).
---
##
Afleiding in stappen
### 1. **Entropie maximaliseren (of equivalent: waarschijnlijkheid)**
We beschouwen \(f(v)\), de verdeling van snelheden. We willen:
$$
\delta \left[ \ln W - \alpha \left( \int f(v)\,dv - N \right) - \beta \left( \int \tfrac{1}{2}mv^2 f(v)\,dv - E \right) \right] = 0
$$
Waar \(W\) het aantal microtoestanden is, dat maximaal is bij evenwicht.
---
### 2. **Maximaliseren met variatie (variatierekening)**
We gebruiken de vorm van de entropie:
$$
S = -k \int f(v) \ln f(v)\,dv
$$
Dus we minimaliseren:
$$
\delta \left[ \int f(v) \ln f(v)\,dv + \alpha \int f(v)\,dv + \beta \int \tfrac{1}{2}mv^2 f(v)\,dv \right] = 0
$$
---
### 3. **Oplossen van de variatievoorwaarde**
We nemen de functionele afgeleide:
$$
\frac{\delta}{\delta f(v)} \left[ f(v) \ln f(v) + \alpha f(v) + \beta \tfrac{1}{2}mv^2 f(v) \right] = 0
$$
→
$$
\ln f(v) + 1 + \alpha + \beta \tfrac{1}{2}mv^2 = 0
$$
→
$$
f(v) = \exp(-1 - \alpha - \beta \tfrac{1}{2}mv^2)
$$
→
$$
f(v) = A \exp\left(-\beta \tfrac{1}{2}mv^2\right)
$$
waar \(A = \exp(-1 - \alpha)\) een normalisatieconstante is.
---
### 4. **Volledige verdeling (1D of 3D)**
Voor **snelheid in 3D** krijg je:
$$
f(v) = C v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)
$$
waarbij \(C\) een normalisatieconstante is en \(kT = 1/\beta\). Dit is de **Maxwell-Boltzmann snelheidsverdeling**.
---
##
Resultaat: Maxwell-Boltzmann verdeling in 3D
$$
f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)
$$
Hier de uitwerking van chatgpt met 2 multiplicatoren. Misschien helpt dat.
We willen de meest waarschijnlijke verdeling \(f(v)\) van snelheden \(v\) vinden, onder de volgende voorwaarden:
1. **Aantal deeltjes is constant:**
$$
\int f(v)\,dv = N
$$
2. **Totale energie is constant:**
$$
\int \tfrac{1}{2} m v^2 f(v)\,dv = E
$$
Deze beperkingen worden ingevoerd met **twee Lagrange-multiplicatoren**: \(\alpha\) en \(\beta\).
---
## 🧮 Afleiding in stappen
### 1. **Entropie maximaliseren (of equivalent: waarschijnlijkheid)**
We beschouwen \(f(v)\), de verdeling van snelheden. We willen:
$$
\delta \left[ \ln W - \alpha \left( \int f(v)\,dv - N \right) - \beta \left( \int \tfrac{1}{2}mv^2 f(v)\,dv - E \right) \right] = 0
$$
Waar \(W\) het aantal microtoestanden is, dat maximaal is bij evenwicht.
---
### 2. **Maximaliseren met variatie (variatierekening)**
We gebruiken de vorm van de entropie:
$$
S = -k \int f(v) \ln f(v)\,dv
$$
Dus we minimaliseren:
$$
\delta \left[ \int f(v) \ln f(v)\,dv + \alpha \int f(v)\,dv + \beta \int \tfrac{1}{2}mv^2 f(v)\,dv \right] = 0
$$
---
### 3. **Oplossen van de variatievoorwaarde**
We nemen de functionele afgeleide:
$$
\frac{\delta}{\delta f(v)} \left[ f(v) \ln f(v) + \alpha f(v) + \beta \tfrac{1}{2}mv^2 f(v) \right] = 0
$$
→
$$
\ln f(v) + 1 + \alpha + \beta \tfrac{1}{2}mv^2 = 0
$$
→
$$
f(v) = \exp(-1 - \alpha - \beta \tfrac{1}{2}mv^2)
$$
→
$$
f(v) = A \exp\left(-\beta \tfrac{1}{2}mv^2\right)
$$
waar \(A = \exp(-1 - \alpha)\) een normalisatieconstante is.
---
### 4. **Volledige verdeling (1D of 3D)**
Voor **snelheid in 3D** krijg je:
$$
f(v) = C v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)
$$
waarbij \(C\) een normalisatieconstante is en \(kT = 1/\beta\). Dit is de **Maxwell-Boltzmann snelheidsverdeling**.
---
## ✅ Resultaat: Maxwell-Boltzmann verdeling in 3D
$$
f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)
$$
