door wnvl1 » za 22 nov 2025, 19:40
Als omega naar nul gaat dan evolueer je naar een Minkowski metriek.
-----------
Een veelgebruikte standaardvorm van de Gödel-metriek (in coordinaten \((t,x,y,z)\)) is
\[
\mathrm{d}s^{2} \;=\; -\bigl(\mathrm{d}t + e^{x}\,\mathrm{d}y\bigr)^{2}
+ \mathrm{d}x^{2}
+ \tfrac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2}
+ \mathrm{d}z^{2}.
\]
Deze vorm komt overeen met de oorspronkelijke Gödel-oplossing in een keuze van eenheden waarbij de rotatieparameter effectief op \(1\) is gezet. We willen nu een expliciete afhankelijkheid van een kleine parameter \(\omega\) invoeren en de limiet \(\omega\to 0\) uitvoeren.
Introduceer nieuwe coordinaten \((t',x,y',z)\) door
\[
t'=t,\qquad y = \sqrt{2}\,\omega\,y'.
\]
(We houden \(x\) en \(z\) ongewijzigd.) In deze \(t',x,y',z\) co\"ordinaten geldt
\[
\mathrm{d}t=\mathrm{d}t',\qquad \mathrm{d}y=\sqrt{2}\,\omega\,\mathrm{d}y'.
\]
Vervang dit in de bovenstaande metriek. Eerst schrijven we de kwadratische termen uit:
\[
- \bigl(\mathrm{d}t + e^{x}\,\mathrm{d}y\bigr)^{2}
= -\mathrm{d}t^{2} - 2 e^{x}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}y - e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2},
\]
dus de volledige metriek is
\[
\mathrm{d}s^{2}
= -\mathrm{d}t^{2} - 2 e^{x}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}y
- e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2}
+ \mathrm{d}x^{2} + \tfrac{1}{2}e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}.
\]
Samengesteld geeft dat
\[
\mathrm{d}s^{2}
= -\mathrm{d}t^{2} - 2 e^{x}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}y
- \tfrac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2}
+ \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}z^{2}.
\]
Nu substitueren we \(\mathrm{d}y=\sqrt{2}\,\omega\,\mathrm{d}y'\) en \(\mathrm{d}t=\mathrm{d}t'\). Dit geeft
\[
\begin{aligned}
\mathrm{d}s^{2}
&= -\mathrm{d}t'^{2}
- 2 e^{x}\,\mathrm{d}t'\,(\sqrt{2}\,\omega\,\mathrm{d}y')
- \tfrac{1}{2} e^{2x}\,(\sqrt{2}\,\omega\,\mathrm{d}y')^{2}
+ \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}z^{2} \\
&= -\mathrm{d}t'^{2}
- 2\sqrt{2}\,\omega\, e^{x}\,\mathrm{d}t'\,\mathrm{d}y'
- \omega^{2} e^{2x}\,\mathrm{d}y'^{2}
+ \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}z^{2}.
\end{aligned}
\]
Uit de laatste regel lezen we de niet-nul metriekcomponenten \(g_{\mu\nu}\) (in de primed co\"ordinaten \((t',x,y',z)\)):
\[
\begin{aligned}
g_{t't'} &= -1,\\
g_{x x} &= +1,\\
g_{z z} &= +1,\\
g_{t'y'} &= g_{y't'} = -\sqrt{2}\,\omega\, e^{x},\\
g_{y'y'} &= -\omega^{2} e^{2x}.
\end{aligned}
\]
Merk op dat de afwijkingen van de Minkowski-componenten zich schikken in machten van \(\omega\): de buiten-diagonaal rotatiecomponent \(g_{t'y'}\) is \(\mathcal{O}(\omega)\) en de extra bijdrage aan \(g_{y'y'}\) is \(\mathcal{O}(\omega^{2})\).
Daarom heeft de metriek voor kleine \(\omega\) de vorm
\[
\mathrm{d}s^{2}
= \bigl(-\mathrm{d}t'^{2} + \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}y'^{2} + \mathrm{d}z^{2}\bigr)
+ \underbrace{\bigl(- 2\sqrt{2}\,\omega\, e^{x}\,\mathrm{d}t'\,\mathrm{d}y' - \omega^{2} e^{2x}\,\mathrm{d}y'^{2}\bigr)}_{\text{correlaties van orde }\omega,\omega^{2}}.
\]
Hierboven heb ik het \(\mathrm{d}y'^{2}\)-deel in de hoofdterm als \(\mathrm{d}y'^{2}\) geschreven om de vergelijking met Minkowski duidelijker te maken: in de exacte substitutie (zoals hierboven) verschijnt geen expliciete \(+1\) voor \(g_{y'y'}\) — dat is een kwestie van welke schaal je voor \(y'\) kiest. Door in deze laatste regel \(y'\) zodanig te reschalen (een uniforme lineaire co\"ordinattransformatie) kun je de flat-leading-order zichtbaar maken en de correctietermen als \(\mathcal{O}(\omega)\) en \(\mathcal{O}(\omega^{2})\) laten verschijnen.
Uit de expliciete componenten volgt direct dat, als men \(\omega\to 0\) neemt (met de hierboven gebruikte co\"ordinatkeuze), de extra termen
\[
g_{t'y'}\sim \mathcal{O}(\omega),\qquad g_{y'y'}\sim\mathcal{O}(\omega^{2})
\]
naar nul gaan. Daarom nadert de metriek (tot co\"ordinattransformaties en geschikte rescalingen van \(y\)) de vlakke Minkowski-metriek. Concreet: in de \(\omega\to0\) limiet verdwijnen de rotatie-bijdrage (vorticiteit) en de bijbehorende niet-diagonale termen, en verdwijnen ook de gesloten tijdachtige krommen die in de Gödel-ruimte aanwezig zijn wanneer \(\omega\neq 0\).
Het is belangrijk te benadrukken dat de Gödel-oplossing als oplossing van Einstein's veldvergelijkingen relaties legt tussen \(\omega\), de materiedichtheid \(\rho\) en de kosmologische constante \(\Lambda\) (bijvoorbeeld in vele parametrisaties van de vorm \(4\pi G\rho\propto\omega^{2}\) en \(\Lambda\propto -\omega^{2}\)). Daardoor is de fysieke consistente limiet \(\omega\to 0\) doorgaans vergezeld van \(\rho\to0\) en \(\Lambda\to0\), en in die gekoppelde limiet is de vlakke Minkowski-ruimte de natuurlijke resultaatgeometrie.
Als omega naar nul gaat dan evolueer je naar een Minkowski metriek.
-----------
Een veelgebruikte standaardvorm van de Gödel-metriek (in coordinaten \((t,x,y,z)\)) is
\[
\mathrm{d}s^{2} \;=\; -\bigl(\mathrm{d}t + e^{x}\,\mathrm{d}y\bigr)^{2}
+ \mathrm{d}x^{2}
+ \tfrac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2}
+ \mathrm{d}z^{2}.
\]
Deze vorm komt overeen met de oorspronkelijke Gödel-oplossing in een keuze van eenheden waarbij de rotatieparameter effectief op \(1\) is gezet. We willen nu een expliciete afhankelijkheid van een kleine parameter \(\omega\) invoeren en de limiet \(\omega\to 0\) uitvoeren.
Introduceer nieuwe coordinaten \((t',x,y',z)\) door
\[
t'=t,\qquad y = \sqrt{2}\,\omega\,y'.
\]
(We houden \(x\) en \(z\) ongewijzigd.) In deze \(t',x,y',z\) co\"ordinaten geldt
\[
\mathrm{d}t=\mathrm{d}t',\qquad \mathrm{d}y=\sqrt{2}\,\omega\,\mathrm{d}y'.
\]
Vervang dit in de bovenstaande metriek. Eerst schrijven we de kwadratische termen uit:
\[
- \bigl(\mathrm{d}t + e^{x}\,\mathrm{d}y\bigr)^{2}
= -\mathrm{d}t^{2} - 2 e^{x}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}y - e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2},
\]
dus de volledige metriek is
\[
\mathrm{d}s^{2}
= -\mathrm{d}t^{2} - 2 e^{x}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}y
- e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2}
+ \mathrm{d}x^{2} + \tfrac{1}{2}e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2} + \mathrm{d}z^{2}.
\]
Samengesteld geeft dat
\[
\mathrm{d}s^{2}
= -\mathrm{d}t^{2} - 2 e^{x}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}y
- \tfrac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}y^{2}
+ \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}z^{2}.
\]
Nu substitueren we \(\mathrm{d}y=\sqrt{2}\,\omega\,\mathrm{d}y'\) en \(\mathrm{d}t=\mathrm{d}t'\). Dit geeft
\[
\begin{aligned}
\mathrm{d}s^{2}
&= -\mathrm{d}t'^{2}
- 2 e^{x}\,\mathrm{d}t'\,(\sqrt{2}\,\omega\,\mathrm{d}y')
- \tfrac{1}{2} e^{2x}\,(\sqrt{2}\,\omega\,\mathrm{d}y')^{2}
+ \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}z^{2} \\
&= -\mathrm{d}t'^{2}
- 2\sqrt{2}\,\omega\, e^{x}\,\mathrm{d}t'\,\mathrm{d}y'
- \omega^{2} e^{2x}\,\mathrm{d}y'^{2}
+ \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}z^{2}.
\end{aligned}
\]
Uit de laatste regel lezen we de niet-nul metriekcomponenten \(g_{\mu\nu}\) (in de primed co\"ordinaten \((t',x,y',z)\)):
\[
\begin{aligned}
g_{t't'} &= -1,\\
g_{x x} &= +1,\\
g_{z z} &= +1,\\
g_{t'y'} &= g_{y't'} = -\sqrt{2}\,\omega\, e^{x},\\
g_{y'y'} &= -\omega^{2} e^{2x}.
\end{aligned}
\]
Merk op dat de afwijkingen van de Minkowski-componenten zich schikken in machten van \(\omega\): de buiten-diagonaal rotatiecomponent \(g_{t'y'}\) is \(\mathcal{O}(\omega)\) en de extra bijdrage aan \(g_{y'y'}\) is \(\mathcal{O}(\omega^{2})\).
Daarom heeft de metriek voor kleine \(\omega\) de vorm
\[
\mathrm{d}s^{2}
= \bigl(-\mathrm{d}t'^{2} + \mathrm{d}x^{2} + \mathrm{d}y'^{2} + \mathrm{d}z^{2}\bigr)
+ \underbrace{\bigl(- 2\sqrt{2}\,\omega\, e^{x}\,\mathrm{d}t'\,\mathrm{d}y' - \omega^{2} e^{2x}\,\mathrm{d}y'^{2}\bigr)}_{\text{correlaties van orde }\omega,\omega^{2}}.
\]
Hierboven heb ik het \(\mathrm{d}y'^{2}\)-deel in de hoofdterm als \(\mathrm{d}y'^{2}\) geschreven om de vergelijking met Minkowski duidelijker te maken: in de exacte substitutie (zoals hierboven) verschijnt geen expliciete \(+1\) voor \(g_{y'y'}\) — dat is een kwestie van welke schaal je voor \(y'\) kiest. Door in deze laatste regel \(y'\) zodanig te reschalen (een uniforme lineaire co\"ordinattransformatie) kun je de flat-leading-order zichtbaar maken en de correctietermen als \(\mathcal{O}(\omega)\) en \(\mathcal{O}(\omega^{2})\) laten verschijnen.
Uit de expliciete componenten volgt direct dat, als men \(\omega\to 0\) neemt (met de hierboven gebruikte co\"ordinatkeuze), de extra termen
\[
g_{t'y'}\sim \mathcal{O}(\omega),\qquad g_{y'y'}\sim\mathcal{O}(\omega^{2})
\]
naar nul gaan. Daarom nadert de metriek (tot co\"ordinattransformaties en geschikte rescalingen van \(y\)) de vlakke Minkowski-metriek. Concreet: in de \(\omega\to0\) limiet verdwijnen de rotatie-bijdrage (vorticiteit) en de bijbehorende niet-diagonale termen, en verdwijnen ook de gesloten tijdachtige krommen die in de Gödel-ruimte aanwezig zijn wanneer \(\omega\neq 0\).
Het is belangrijk te benadrukken dat de Gödel-oplossing als oplossing van Einstein's veldvergelijkingen relaties legt tussen \(\omega\), de materiedichtheid \(\rho\) en de kosmologische constante \(\Lambda\) (bijvoorbeeld in vele parametrisaties van de vorm \(4\pi G\rho\propto\omega^{2}\) en \(\Lambda\propto -\omega^{2}\)). Daardoor is de fysieke consistente limiet \(\omega\to 0\) doorgaans vergezeld van \(\rho\to0\) en \(\Lambda\to0\), en in die gekoppelde limiet is de vlakke Minkowski-ruimte de natuurlijke resultaatgeometrie.
