door Bart23 » wo 12 nov 2025, 00:12
a) Neem \(A\subset Y\). Dan is \(f^{-1}(A)=\{x\in X\vert f(x) \in A\}\subset X\). Deze verzameling is eenduidig bepaald.
b)
\(\Rightarrow\):
Te bewijzen: \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\)
Aangezien \(f^{-1}\) surjectief is, bestaan er \(B_1\) en \(B_2\) zó dat \(f^{-1}(B_1)=\{x_1\}\) en \(f^{-1}(B_2)=\{x_2\}\)
Als \( x_1\neq x_2\) zou dit willen zeggen dat \(B_1\cap B_2=\emptyset\), maar dat kan niet, want \( f(x_1)\in B_1 \wedge f(x_2)\in B_2\), maar \(f(x_1)=f(x_2)\), contradictie!. Dus \(x_1=x_2\)
\(\Leftarrow\):
We bewijzen \(f^{-1}(f(A))=A\). Dan volgt dat A het beeld is van f(A) onder \(f^{-1}\)
\(f^{-1}(f(A))\supset A\) is triviaal.
\(f^{-1}(f(A))\subset A\):
\(x\in f^{-1}(f(A))\Rightarrow f(x)\in f(A)\Rightarrow f(x)=f(a) (\textrm{voor zekere } a\in A)\Rightarrow x=a \in A(\textrm{want f is injectief})\)
a) Neem [itex]A\subset Y[/itex]. Dan is [itex]f^{-1}(A)=\{x\in X\vert f(x) \in A\}\subset X[/itex]. Deze verzameling is eenduidig bepaald.
b)
[itex]\Rightarrow[/itex]:
Te bewijzen: [itex]f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2[/itex]
Aangezien [itex]f^{-1}[/itex] surjectief is, bestaan er [itex]B_1[/itex] en [itex]B_2[/itex] zó dat [itex]f^{-1}(B_1)=\{x_1\}[/itex] en [itex]f^{-1}(B_2)=\{x_2\}[/itex]
Als [itex] x_1\neq x_2[/itex] zou dit willen zeggen dat [itex]B_1\cap B_2=\emptyset[/itex], maar dat kan niet, want [itex] f(x_1)\in B_1 \wedge f(x_2)\in B_2[/itex], maar [itex]f(x_1)=f(x_2)[/itex], contradictie!. Dus [itex]x_1=x_2[/itex]
[itex]\Leftarrow[/itex]:
We bewijzen [itex]f^{-1}(f(A))=A[/itex]. Dan volgt dat A het beeld is van f(A) onder [itex]f^{-1}[/itex]
[itex]f^{-1}(f(A))\supset A[/itex] is triviaal.
[itex]f^{-1}(f(A))\subset A[/itex]:
[itex]x\in f^{-1}(f(A))\Rightarrow f(x)\in f(A)\Rightarrow f(x)=f(a) (\textrm{voor zekere } a\in A)\Rightarrow x=a \in A(\textrm{want f is injectief})[/itex]
