De afleiding zelf komt uit Hawking, S. W. (1975), Particle Creation by Black Holes. Verder heb ik nog wat arXiv-artikelen gelezen.

Dat veel dingen je niet helemaal helder of duidelijk zijn begrijp ik wel, dat geldt voor mij ook, en uiteindelijk voor iedereen. Want zonder een volledige kwantumzwaartekracht theorie is er geen fundamentele uitleg voor Hawkingstraling.


Voor de grap heb ik ook even andere populaire filmpjes bekeken. PBS Spacetime vind ik goed, voor zover dat kan voor een dergelijk publiek.

Ze noemen de verschillende afleidingen zelfs ‘hacks’. Een beetje zoals ik eerder zei, wiskundige boekhouding: het klopt, maar een volledige fundamentele verklaring is er niet.

Welke referentie gebruik je voor de echte afleiding?

Ik heb al veel gelezen in

Mukhanov, V. F., & Winitzki, S. (2007). Introduction to Quantum Effects in Gravity. Cambridge University Press.

die ook wel online op het internet staat. Maar er blijven toch nog veel dingen niet helemaal helder.

[quote=HansH post_id=1269982 time=1763200138 user_id=26240]
zie filmpje op t=4:57 ...
daar blijkt dat de stilhangende waarnemer de positieve en negatieve golven anders ervaart qua golflengte. De blauwe (negatieve energie) golven kunnen niet ontsnappen dus hebben dan feitelijk golflengte groter dan oneindig. waarom hij dat echter expliciet voor de blauwe golven laat zien snap ik niet goed. De rode golven kunnen immers ook niet het zwarte gat uit. dus blijkbaar gaat het dan om een fundamenteel verschil tussen rood en blauw (wat hij dan niet verder toelicht lijkt het of ik snap het niet)
[/quote]

Dat specifieke stuk uit het filmpje valt niet te begrijpen, omdat het simpelweg misleidend en intern inconsistent is. Het visualiseert dingen die bij een horizon helemaal niet zo werken.

Concreet gaat het fout op o.a. deze punten:

- het toont modi alsof het fysieke golven zijn die bewegen of “vastlopen”.

- het gebruikt de kleuren rood/blauw alsof dat Doppler-shifts van een fysiek signaal zijn.

- het suggereert dat “negatieve energie” een soort oneindige blauwe golf is die niet kan ontsnappen en oneindig blauwverschuift.

- het doet alsof de ruimtetijd in GP-coördinaten (Gullstrand–Painlevé coördinaten) letterlijk “stromen”, en daarmee vacuümenergie en de modi.

- het suggereert dat positief/negatief intrinsieke eigenschappen zijn, terwijl het puur coördinaatafhankelijk is.

[quote]
blijkbaar is het feit dat de blauwe golven niet naar buiten kunnen de reden voor de hawking straling die je verder weg dan ervaart. Dus is dat dan de reden dat we bv rond het zwaartekrachtsveld van de aarde geen hawking straling hebben?
[/quote]

Nee. Dat de “blauwe golven" niet zouden kunnen ontsnappen is een niet bestaand iets en dus kan een "daarom bestaat Hawkingstraling” geen kloppende redenering zijn. Die visualisatie projecteert fysica op een manier die nergens in de echte afleiding voorkomt. En nergens op slaat eigenlijk.

De enige echte reden is dat er een horizon nodig is. Alleen een horizon “splits” de vacuümfluctuaties op een manier waardoor er echte deeltjes ontstaan die ver weg als straling zichtbaar zijn. Maar al zou er zo’n horizon voor de aarde zijn, dan is de temperatuur


[tex]T = \frac{\kappa}{2\pi}[/tex]


voor de aarde [itex]10^{-30}\text{K}[/itex] zijn, praktisch nul.

[quote=Gast post_id=1269978 time=1763196507 ]
Het is voornamelijk allemaal wiskunde boekhouding, en wat dat betreft kun je evengoed het heuristische verhaal van Stephen Hawking in zijn populaire boekje schreef gebruiken. Al is dat wel heel erg gesimplificeerd over wat er in werkelijkheid iig gebeurt.
[/quote]

Die bedenking begin ik mij ook wel te maken. Zo verkeerd is die uitleg van Hawking ook niet.

Wanneer een kwantumveld zich in de buurt van de waarnemingshorizon bevindt, worden de normale trillingsmodi van dat veld anders gezien door een waarnemer ver weg dan door een waarnemer vlak bij de horizon. Door de extreme kromming splitsen de mogelijke veldfluctuaties zich in een deel dat vanuit oneindig wordt geïnterpreteerd als een mode met positieve energie, en een deel dat vanuit het perspectief buiten het zwarte gat wordt geïnterpreteerd als een negatieve energiemode.

Omdat een negatief-energiedeeltje buiten de horizon niet fysisch kan bestaan, kan zo’n mode alleen achter de horizon blijven. De ruimtetijd dwingt deze mode als het ware naar binnen, waar negatieve energie wel toegestaan is ten opzichte van een waarnemer die met het zwarte gat meebeweegt. Tegelijkertijd wordt de corresponderende positieve energiemode naar buiten uitgestraald, zodat een waarnemer op grote afstand die mode ziet als een echt deeltje: dat is de Hawkingstraling.

zie filmpje op t=4:57
https://youtu.be/isezfMo8kWQ?t=297
daar blijkt dat de stilhangende waarnemer de positieve en negatieve golven anders ervaart qua golflengte. De blauwe (negatieve energie) golven kunnen niet ontsnappen dus hebben dan feitelijk golflengte groter dan oneindig. waarom hij dat echter expliciet voor de blauwe golven laat zien snap ik niet goed. De rode golven kunnen immers ook niet het zwarte gat uit. dus blijkbaar gaat het dan om een fundamenteel verschil tussen rood en blauw (wat hij dan niet verder toelicht lijkt het of ik snap het niet)

blijkbaar is het feit dat de blauwe golven niet naar buiten kunnen de reden voor de hawking straling die je verder weg dan ervaart. Dus is dat dan de reden dat we bv rond het zwaartekrachtsveld van de aarde geen hawking straling hebben?

toevallig liep ik tegen dit filmpje aan gisteravond;

https://youtu.be/isezfMo8kWQ
dat ondersteunt denk ik mooi wat 2up1down ook al beschrijft.

(nou, helemaal toevallig zal het wel niet zijn want de zoekmachines weten zo te zien beter wat ik zou moeten zoeken dan ik zelf, dus het stond zogezegd al klaar)

[quote=wnvl1 post_id=1269948 time=1763025199 user_id=83230]
Hawkingstraling moet worden begrepen volledig in termen van kwantumvelden in een gekromde ruimtetijd.
[/quote]

Nou, nee toch? Om het volledig te begrijpen voor zover dat kan, welke interpretatie van modi-menging ed je ook kiest (een quantum atmosphere is populair), QFT is uiteraard essentieel. Zeker als je er diep op ingaat, maar ook ART is essentieel voor het begrijpen hoe en waarom er straling ontstaat (bij iedere horizon overigens), en de thermodynamica om de temperatuur, entropie en energiebalans te begrijpen. Het volledige plaatje is dus QFT op een door ART bepaalde achtergrond, met thermodynamica voor de interpretatie van de uitkomst.

Iig nog even over mijn eerder het onstaat in een regio van 10-20 Rs en iets wat ik las in de mythe van Flappelap over een deeltje ontsnappen aan de zwaartekrachtsput van een zwart gat.

Positive- en negative frequency modes bestaan overal en in- en out-modes ook, dus ook op 1 Rs en modi-menging er meteen achteraan. Alleen hebben de modi nog geen echte energie of massa, dat gebeurt pas later, wanneer het vervormde vacuüm rond het zwarte gat (door de horizon en de Bogoliubov-transformatie) ver van het zwarte gat tot uitdrukking komt als echte deeltjes, zoals fotonen, die energie dragen en zichtbaar zijn als Hawking-straling (buiten ~10–20 Rs, afhankelijk van het massa van het zwarte gat).

Dus die modes dragen geen energie en hebben ze dus ook niet nodig om uit een zwaartekrachtsput te klimmen.
Ook geen negatieve energie, dus negatieve energie die in het zwarte gat valt is niet helemaal juist uitgedrukt.

(In de wiskunde van de Bogoliubov-transformatie verschijnt die negatieve energie formeel, maar fysisch is het geen echte energie die valt; het is een interpretatie van het vervormde vacuüm.)

Het gaat er om of de modi de effectieve potentiaal op 1,5 Rs "doorkomen" met op 3,3M een piek van de modi-menging wat tot 5 Rs ongeveer doorgaat.

(Op 1,5 Rs ligt niet toevallig ook de fotonsfeer trouwens waar wel echte fotonen nog uit kunnen ontsnappen.)

Om on de regio van 10-20 Rs gezien te worden als Hawling straling.

Iig, als ik moest zeggen waar Hawking straling zich begint te vormen of ontstaat, zou ik alsnog op de waarnemingshorizon zeggen. Want daar is het mechanisme wat er voor zorgt dat het bestaat: de cut-off.

Het is jammer dat zolang er zoveel open vragen en problemen zijn, zoals het "trans-Planckian problem", we nooit zullen weten wat het allemaal precies betekent: negative frequency modes in een zwart gat, modi-menging, het ontstaan van echte deeltjes, de effectieve potentiaalbarrière etc.

Het is voornamelijk allemaal wiskunde boekhouding, en wat dat betreft kun je evengoed het heuristische verhaal van Stephen Hawking in zijn populaire boekje schreef gebruiken. Al is dat wel heel erg gesimplificeerd over wat er in werkelijkheid iig gebeurt.

[i]Een algemene reactie overigens.[/i]

Negatieve energie en negatieve massa zijn geen identieke begrippen. Negatieve energie ontstaat in QFT wanneer een systeem een energietoestand heeft die lager ligt dan wat normaal als het nulpunt wordt beschouwd, zoals in het Casimir-effect. Dit betekent niet dat het systeem als geheel een negatieve totale energie bezit, maar dat de energiedichtheid lokaal lager kan zijn dan de standaardwaarde.

Negatieve massa daarentegen is een hypothetisch concept uit de klassieke relativiteitstheorie. Een object met negatieve massa zou zich volledig anders gedragen dan gewone materie: het zou bijvoorbeeld versnellen in de tegenovergestelde richting van een uitgeoefende kracht. Dit type massa is echter nog nooit waargenomen.

Hoewel Einstein’s formule \(E = mc^2\) suggereert dat negatieve energie automatisch tot negatieve massa zou leiden, werkt dit in de praktijk niet zo. Massa is een eigenschap van een veld of een deeltje, terwijl negatieve energie in de meeste gevallen slechts een lokaal energieverschil beschrijft. Een gebied met negatieve energiedichtheid hoeft daarom geen negatieve massa te bevatten.

Het is niet correct om negatieve energie dus simpelweg gelijk te stellen aan negatieve massa, omdat beide begrippen verschillende fysische oorsprongen en betekenissen hebben.

Wat betreft donkere energie. Donkere energie is een vorm van energie die overal in de ruimte aanwezig is en die ervoor zorgt dat de uitdijing van het heelal steeds sneller gaat. Dit gedrag lijkt op dat van een medium met een negatieve druk. In de algemene relativiteitstheorie werkt druk namelijk ook als een bron van zwaartekracht. Een negatieve druk creëert een afstotende werking in de ruimtetijd. Dit is de reden dat donkere energie het heelal versneld doet uitdijen.

Hoewel donkere energie een “afstotend” effect heeft, betekent dit niet dat het negatieve energie bevat. De energiedichtheid van donkere energie is juist positief, maar de druk ervan is sterk negatief. Dat is precies de combinatie die een versnellende uitdijing veroorzaakt.

Soms wordt donkere energie vergeleken met negatieve massa, omdat objecten met negatieve massa theoretisch ook een afstotend effect zouden hebben. Toch is dit slechts een analogie. Donkere energie gedraagt zich niet als deeltjes met negatieve massa, maar als een gladde, gelijkmatig verdeelde energievorm die de structuur van de ruimte zelf beïnvloedt.

Het verband is dus dat donkere energie in de vergelijkingen van de relativiteitstheorie een effect creëert dat lijkt op het effect dat negatieve massa zou hebben, maar het is fysisch gezien iets heel anders en bevat geen echte negatieve energie.

aha de truuk is dus dat negatieve energie wel het gat in kan vallen, maar positieve energie er niet uit kan ontsnappen. Ik wist alleen niet dat er ook negatieve energie kon bestaan. (ja ok wel bij mensen, maar dat is een ander verhaal) dus als je iets kunt maken wat uit heel veel negatieve energie bestaat dan zou je een zwart gat daarmee ook instantaan kunnen vernietigen. negatieve energie zou dan negatieve massa vertegenwoordigen. is dat dan weer hetzelfde als dark energy? of haal ik nu dingen door elkaar?

De negatieve frequentiemodi die door de horizon vallen dragen negatieve energie ten opzichte van een waarnemer ver weg. Deze negatieve energie wordt door het zwart gat opgenomen, waardoor de massa \(M\) van het zwart gat afneemt:

\begin{equation}
\Delta M = - \sum_i \omega_i \, n_i^{\text{neg}},
\end{equation}

waarbij \(n_i^{\text{neg}}\) het aantal quanta in de negatieve modus is en \(\omega_i\) de bijbehorende frequentie.

De Schwarzschild-radius van het zwart gat wordt gegeven door

\begin{equation}
r_s = \frac{2GM}{c^2}.
\end{equation}

Wanneer de massa afneemt door de opname van negatieve energie, krimpt de horizon volgens

\begin{equation}
\Delta r_s = \frac{2G \Delta M}{c^2} < 0.
\end{equation}

Tegelijkertijd ontsnappen de positieve frequentiemodi naar oneindig en worden waargenomen als thermische straling met gemiddeld aantal deeltjes per frequentie \(\omega\) gegeven door

\begin{equation}
\langle n_\omega \rangle = \frac{1}{e^{\hbar \omega / k_B T_H} - 1}, \quad
T_H = \frac{\hbar c^3}{8 \pi G M k_B}.
\end{equation}

Het energieverlies door Hawking-straling wordt exact gecompenseerd door de opname van negatieve energie in het zwart gat, waardoor het totale energiebehoud gegarandeerd blijft.

[quote=wnvl1 post_id=1269948 time=1763025199 user_id=83230]

Er verlaat dus niets letterlijk de binnenkant van de horizon; de afname van de massa is het gevolg van de globale structuur van de kwantumveldmodi in de gekromde ruimtetijd. Voor een verre waarnemer lijkt het alsof het zwarte gat energie uitstraalt, maar in werkelijkheid is dit een gevolg van de manier waarop het vacuüm en de frequentiemodi zich door de kromming van de ruimtetijd mengen.
```
[/quote]
Maar er is dus uitgestraalde enerige. De uitgestraalde energie komt van buiten de eventhorizon, maar het zwarte gat wordt daardoor wel kleiner dus verliest toch energie. Volgens welk geheim doorgeefluik wordt die aan de buitenkant 'geleende energie' dat uiteindelijk verrekend met de binnen kant?

Toch blijft er nog wat twijfel rond de mythe van Hawking-straling. Hawking-straling is berekend met een semi-klassiek model, waarin de ruimtetijd volgens de ART als klassiek wordt behandeld, terwijl de deeltjes zelf kwantummechanisch worden beschreven. Zolang de zwaartekracht niet té extreem is, werkt deze benadering goed. Maar zodra de kromming van de ruimtetijd extreem sterk wordt — bijvoorbeeld bij de singulariteit of in de laatste fase van de verdamping van een zwart gat — schiet dit model tekort. Wat we niet zeker weten is of Hawking’s wiskundige beschrijving nog standhoudt zodra we de effecten van een volledige theorie van kwantumzwaartekracht meenemen.

[quote=HansH post_id=1269946 time=1763023273 user_id=26240]
[quote=Gast post_id=1269945 time=1763016493 ]


Hawking straling komt niet [i]uit[/i] een zwart gat, maar ontstaat in de regio eromheen binnen ongeveer 10-20 Schwarzschild radii en met een "peak wavelength" op 16 maal de Schwardschild radius.

Dus enorme golflengtes of fotonen met heel weinig energie, die niet te detecteren zijn.
[/quote]
aha dat is wel verhelderend en de eerste keer dat ik dat hoor of lees.
[/quote]

Zie b.v.

https://roelandringaboxum.nl/wp-content/uploads/2023/11/Los-Hoofdstuk-Hawkingstraling-Natuurlijk-Niet.pdf

;)

Ter info nog wat meer verduidelijking.

Hawkingstraling moet worden begrepen volledig in termen van kwantumvelden in een gekromde ruimtetijd. Men beschouwt een kwantumveld dat leeft op de achtergrond van een zwart gat en onderzoekt hoe de modi van dit veld zich ontwikkelen. Ver weg van het zwarte gat is de ruimtetijd bijna vlak en kan men een gewone tijdcoördinaat gebruiken, zodat de oplossingen van het veld zich als positieve-frequentiemodi gedragen van de vorm \(\phi^{\text{out}}_\omega \sim e^{-i \omega t}\). Nabij de horizon gebruikt men echter een andere tijdscoördinaat, die past bij vrijvallende waarnemers. Hierdoor is de decompositie in positieve en negatieve frequenties niet dezelfde nabij de horizon als ver weg.

De relatie tussen de in-modi (vroeger) en de out-modi (later, gemeten op grote afstand) kan worden geschreven als een Bogoliubov-transformatie:
\[
\phi_{\omega}^{\text{out}} = \sum_{\omega'} \left( \alpha_{\omega \omega'} \, \phi_{\omega'}^{\text{in}} + \beta_{\omega \omega'} \, \phi_{\omega'}^{\text{in} *} \right).
\]
De aanwezigheid van niet-nul \(\beta\)-coëfficiënten betekent dat wat voor de in-waarnemer een vacuümtoestand was, door de out-waarnemer niet als leeg wordt gezien. De out-waarnemer detecteert een flux van energie met een gemiddeld aantal quanta
\[
\langle N_\omega \rangle = |\beta_\omega|^2 = \frac{1}{e^{\hbar \omega / k T_H} - 1},
\]
waarbij \(T_H = \hbar c^3 / (8 \pi G M k)\) de Hawkingtemperatuur is. De waarnemer ver weg ziet dus een thermische straling afkomstig van het zwarte gat.

De energie die in deze straling naar buiten stroomt, correspondeert met een negatieve energiestroom net buiten de horizon. Dit volgt uit de verwachtingswaarde van de stress-energietensor \(\langle T_{\mu\nu} \rangle\) in de Hawking-toestand (de zogenaamde Unruh-toestand). Ver weg is er een positieve flux naar buiten, maar nabij de horizon is er een negatieve flux naar binnen, zodat energiebehoud impliceert dat de massa van het zwarte gat afneemt volgens
\[
\frac{dM}{dt} = - \text{(energieflux naar buiten)}.
\]
Er verlaat dus niets letterlijk de binnenkant van de horizon; de afname van de massa is het gevolg van de globale structuur van de kwantumveldmodi in de gekromde ruimtetijd. Voor een verre waarnemer lijkt het alsof het zwarte gat energie uitstraalt, maar in werkelijkheid is dit een gevolg van de manier waarop het vacuüm en de frequentiemodi zich door de kromming van de ruimtetijd mengen.
```