@Bart23,

Dank U,
Bizar, maar prachtig.
En dan te bedenken dat de formule van een ellips in cartesische coordinaten zo simpel en mooi is.
Hopelijk had U er ook iets aan, en andere ST bezoekers misschien ook.
Fenomenaal waar U / jullie toe in staat zijn !

Nogmaals, heel erg bedankt....... ook @RedCat.

Nee dat is geen ellips. Zie figuur waarbij ik de ijk op de x-as kleiner heb gemaaakt om het passend te maken
a=8, D=16, b=0.02
[attachment=0]Schermafbeelding 2025-12-23 125205.jpg[/attachment]

@Bart23,

Dank U,
Bizar !
Stel dat D = 2a ...... wat is dan de vorm van de kromme bij de limiet van "b" naar 0 ? ... ik vermoed . een ellips.

Nee, bij mij was ook al D=10>a=8. Onderstaand de grafiek met b=0.02 en de y-as wat ingeschaald. Met D=10 en a=8. Hier zie je nog eens duidelijk dat de raakpunten niet vlak bij de y-as liggen en dat de maximale "x" nog steeds de voorspelde 10.88 is met de formule. De x-coordinaat van de raakpunten is 5.88. Komt overeen met a²/"x"=64/10.88, zoals ik eerder schreef.
[attachment=0]Schermafbeelding 2025-12-22 230412.jpg[/attachment]

@Bart23,

Ik denk dat mijn fout ergens anders lag / ligt
Wat ik schreef is maar correct als D > a .. dan ligt de limiet waarde van "x" toch op de waarde D/2 al "b" gaat naar 0.
Mee eens ?

Dat is inderdaad wat je intuitief zou kunnen denken, maar dan maak je de denkfout dat de raakpunten mee naar de y-as convergeren als b naar nul gaat. Dit is niet zo, de x-coordinaat van de raakpunten verandert vrijwel niet (het product van die x-coordinaat met de meest rechtse x-coordinaat moet a² zijn).
Als de raakpunten bij de y-as komen te liggen gaan de raaklijnen horizontaal lopen en zeker niet door D/2 op de x-as gaan, is een andere manier om te zien dat die intuitie niet klopt.

@Bart23,

Dank U,

Maar, maar, maar, de limiet "x" coordinaat voor "b " naar nul (ongeacht de waarde van "a" moet toch logischer wijze D/2 zijn , zijnde de helft van de gestelde "som van de lengtes van de raaklijnen" !!!

Eerst een paar A4'tjes voorbereidend rekenwerk en dan de horror van het uitwerken overgelaten aan mijn goede AI-vriend Claude die ik gevraagd heb om een tool (i.c. Python met de nodige bibliotheken) te gebruiken als het wat lastig voor hem werd. En goed checken want hij durft soms nog eens termpje wegmoffelen als het hem goed uitkomt. Maar ik blijf nog steeds versteld staan van de mogelijkheden.

Ik had me vergist, de b heeft wel een invloed op de meest rechtse x-coördinaat, maar voor kleine b is die heeel klein.
Dit is de formule voor de coördinaat:
[tex]x = \frac14\sqrt{2D^2 + 16a^2 - 8b^2 + 2\sqrt{D^4 + 16D^2a^2 - 8D^2b^2 + 16b^4}}[/tex]
Als je b=0 stelt kan je het vereenvoudigen tot
[tex]x = \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{D^2 + 8a^2 + D\sqrt{D^2 + 16a^2}}[/tex]

Waar een eenvoudige topic toe leiden kan!
Even ernstig, hoe komt U / komen jullie aan / tot die formule ?
AI ?
Genereert uw software pakket die ?
Wat is de limiet waarde van de "x" coordinaat voor "b" gaande naar nul (0) ? .... voor elke ellips ongeacht de waarde van "a" en "de som van de lengtes van de raaklijnen" ?

Ter info, dit is de vergelijking van de kromme :twisted:
[tex]
\begin{align*}
&D^4*a^8*y^8 + 4*D^4*a^6*b^2*x^2*y^6 + 6*D^4*a^4*b^4*x^4*y^4 + 4*D^4*a^2*b^6*x^6*y^2 + D^4*b^8*x^8 +\\
&4*D^2*a^{10}*b^2*y^6 - 4*D^2*a^{10}*y^8 + 4*D^2*a^8*b^4*x^2*y^4 - 4*D^2*a^8*b^4*y^6 - 4*D^2*a^8*b^2*x^2*y^6 +\\ &8*D^2*a^8*b^2*y^8 - 4*D^2*a^8*x^2*y^8 - 4*D^2*a^8*y^10 - 4*D^2*a^6*b^6*x^4*y^2 - 4*D^2*a^6*b^6*x^2*y^4 +\\ &12*D^2*a^6*b^4*x^4*y^4 + 20*D^2*a^6*b^4*x^2*y^6 - 16*D^2*a^6*b^2*x^4*y^6 - 16*D^2*a^6*b^2*x^2*y^8 - \\
&4*D^2*a^4*b^8*x^6 + 4*D^2*a^4*b^8*x^4*y^2 + 20*D^2*a^4*b^6*x^6*y^2 + 12*D^2*a^4*b^6*x^4*y^4 - \\
&24*D^2*a^4*b^4*x^6*y^4 - 24*D^2*a^4*b^4*x^4*y^6 + 4*D^2*a^2*b^{10}*x^6 + 8*D^2*a^2*b^8*x^8 - \\
&4*D^2*a^2*b^8*x^6*y^2 - 16*D^2*a^2*b^6*x^8*y^2 - 16*D^2*a^2*b^6*x^6*y^4 - 4*D^2*b^{10}*x^8 - 4*D^2*b^8*x^{10} -\\
&4*D^2*b^8*x^8*y^2 - 16*a^{10}*b^6*x^2*y^2 + 48*a^{10}*b^4*x^2*y^4 - 48*a^{10}*b^2*x^2*y^6 + 16*a^{10}*x^2*y^8 +\\
&32*a^8*b^8*x^2*y^2 + 48*a^8*b^6*x^4*y^2 - 96*a^8*b^6*x^2*y^4 - 96*a^8*b^4*x^4*y^4 + 96*a^8*b^4*x^2*y^6 + \\
&48*a^8*b^2*x^4*y^6 - 32*a^8*b^2*x^2*y^8 - 16*a^6*b^{10}*x^2*y^2 - 96*a^6*b^8*x^4*y^2 + 48*a^6*b^8*x^2*y^4 - \\
&48*a^6*b^6*x^6*y^2 + 192*a^6*b^6*x^4*y^4 - 48*a^6*b^6*x^2*y^6 + 48*a^6*b^4*x^6*y^4 - 96*a^6*b^4*x^4*y^6 +\\
&16*a^6*b^4*x^2*y^8 + 48*a^4*b^{10}*x^4*y^2 + 96*a^4*b^8*x^6*y^2 - 96*a^4*b^8*x^4*y^4 + 16*a^4*b^6*x^8*y^2 - \\
&96*a^4*b^6*x^6*y^4 + 48*a^4*b^6*x^4*y^6 - 48*a^2*b^{10}*x^6*y^2 - 32*a^2*b^8*x^8*y^2 + 48*a^2*b^8*x^6*y^4 +\\
&16*b^{10}*x^8*y^2 = 0
\end{align*}[/tex]

Dit lijkt een leuke opgave: wat is de x-coördinaat van het meest rechtse punt van de citroenkromme in functie van a en de afstandensom D. In het voorbeeld is D=10 en a= 8 (dit lijkt niet af te hangen van b), en de coördinaat is 10.86
[attachment=0]Schermafbeelding 2025-12-22 194129.jpg[/attachment]

[attachment=0]regorPXPQd18bs.png[/attachment]

Hier voor a=8 en b=2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05 en 0.01 (van buiten naar binnen).
Deze basisellipsen heb ik niet ingetekend.

In rood de binnenellips, waar de blauwe curves voor b naar nul naar convergeren.

Naar het eindpunt bij b=0 moeten we nog even nader kijken, want de lijnstukken op de x-as lijken niet de lengte afstandensom/2 te hebben. (lopen we nu wel tegen de beperkte nauwkeurigheid van de software aan??)

i.w. v. @Bart23 en @RedCat

Enig idee wat de voorwaarde is voor overgang van convec naar concaaf ?

De basis ellips zal gaan dienen als brandpunten ((a, 0) en (-a, 0) als b naar nul gaat) voor de nieuwe ellips.
Aan beide punten op de x-as blijft een lijnstuk over ("uitsteken op de x-as") met lengte afstandensom/2.