door wnvl1 » di 06 jan 2026, 10:56
Gegeven is een tweedimensionale symmetrische tensor
\[
\mathbf{T} =
\begin{pmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
T_{xy} & T_{yy}
\end{pmatrix}.
\]
Een dergelijke tensor kan geometrisch worden geïnterpreteerd als een ellips, mits de tensor positief definiet is.
De bijbehorende ellips wordt gedefinieerd door de kwadratische vorm
\[
\mathbf{x}^T \mathbf{T} \mathbf{x} = 1,
\]
waarbij \(\mathbf{x} = (x,y)^T\). Deze vergelijking beschrijft een ellips in het vlak.
De lengtes van de hoofdassen van de ellips worden bepaald door de eigenwaarden
\(\lambda_1\) en \(\lambda_2\) van de tensor \(\mathbf{T}\).
De halve aslengtes zijn gegeven door
\[
a = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}, \qquad
b = \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}}.
\]
De oriëntatie van de ellips wordt bepaald door de eigenvectoren van de tensor.
De rotatiehoek \(\theta\) van de hoofdassen ten opzichte van de \(x\)-as volgt uit
\[
\theta = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{2T_{xy}}{T_{xx}-T_{yy}}\right).
\]
Als voorbeeld beschouwen we een tweedimensionale spanningstensor
\[
\boldsymbol{\sigma} =
\begin{pmatrix}
100 & 30 \\
30 & 50
\end{pmatrix}
\ \text{MPa}.
\]
Deze tensor is symmetrisch en beschrijft de spanningssituatie in een punt
van een continuüm.
De normale spanning \(\sigma_n\) op een vlak met eenheidsnormaal
\(\mathbf{n} = (\cos\theta,\sin\theta)^T\) wordt gegeven door
\[
\sigma_n = \mathbf{n}^T \boldsymbol{\sigma} \mathbf{n}.
\]
Deze uitdrukking definieert een spanningsellips in het vlak.
De hoofdspanningen volgen uit de eigenwaarden van de spanningstensor.
Deze worden gevonden uit
\[
\det(\boldsymbol{\sigma}-\lambda \mathbf{I}) =
\begin{vmatrix}
100-\lambda & 30 \\
30 & 50-\lambda
\end{vmatrix}
= (100-\lambda)(50-\lambda)-900 = 0.
\]
Dit leidt tot
\[
\lambda^2 -150\lambda +4100 = 0,
\]
waaruit de eigenwaarden volgen:
\[
\lambda_1 \approx 113\ \text{MPa}, \qquad
\lambda_2 \approx 37\ \text{MPa}.
\]
Deze eigenwaarden zijn de hoofdspanningen.
De bijbehorende eigenvectoren geven de richtingen van de hoofdspanningen
en dus de hoofdassen van de spanningsellips.
De oriëntatiehoek van de hoofdspanningen ten opzichte van de \(x\)-as
wordt gegeven door
\[
\theta = \frac{1}{2}\arctan\!\left(
\frac{2\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}
\right)
= \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{60}{50}\right).
\]
Gegeven is een tweedimensionale symmetrische tensor
\[
\mathbf{T} =
\begin{pmatrix}
T_{xx} & T_{xy} \\
T_{xy} & T_{yy}
\end{pmatrix}.
\]
Een dergelijke tensor kan geometrisch worden geïnterpreteerd als een ellips, mits de tensor positief definiet is.
De bijbehorende ellips wordt gedefinieerd door de kwadratische vorm
\[
\mathbf{x}^T \mathbf{T} \mathbf{x} = 1,
\]
waarbij \(\mathbf{x} = (x,y)^T\). Deze vergelijking beschrijft een ellips in het vlak.
De lengtes van de hoofdassen van de ellips worden bepaald door de eigenwaarden
\(\lambda_1\) en \(\lambda_2\) van de tensor \(\mathbf{T}\).
De halve aslengtes zijn gegeven door
\[
a = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}, \qquad
b = \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}}.
\]
De oriëntatie van de ellips wordt bepaald door de eigenvectoren van de tensor.
De rotatiehoek \(\theta\) van de hoofdassen ten opzichte van de \(x\)-as volgt uit
\[
\theta = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{2T_{xy}}{T_{xx}-T_{yy}}\right).
\]
Als voorbeeld beschouwen we een tweedimensionale spanningstensor
\[
\boldsymbol{\sigma} =
\begin{pmatrix}
100 & 30 \\
30 & 50
\end{pmatrix}
\ \text{MPa}.
\]
Deze tensor is symmetrisch en beschrijft de spanningssituatie in een punt
van een continuüm.
De normale spanning \(\sigma_n\) op een vlak met eenheidsnormaal
\(\mathbf{n} = (\cos\theta,\sin\theta)^T\) wordt gegeven door
\[
\sigma_n = \mathbf{n}^T \boldsymbol{\sigma} \mathbf{n}.
\]
Deze uitdrukking definieert een spanningsellips in het vlak.
De hoofdspanningen volgen uit de eigenwaarden van de spanningstensor.
Deze worden gevonden uit
\[
\det(\boldsymbol{\sigma}-\lambda \mathbf{I}) =
\begin{vmatrix}
100-\lambda & 30 \\
30 & 50-\lambda
\end{vmatrix}
= (100-\lambda)(50-\lambda)-900 = 0.
\]
Dit leidt tot
\[
\lambda^2 -150\lambda +4100 = 0,
\]
waaruit de eigenwaarden volgen:
\[
\lambda_1 \approx 113\ \text{MPa}, \qquad
\lambda_2 \approx 37\ \text{MPa}.
\]
Deze eigenwaarden zijn de hoofdspanningen.
De bijbehorende eigenvectoren geven de richtingen van de hoofdspanningen
en dus de hoofdassen van de spanningsellips.
De oriëntatiehoek van de hoofdspanningen ten opzichte van de \(x\)-as
wordt gegeven door
\[
\theta = \frac{1}{2}\arctan\!\left(
\frac{2\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}
\right)
= \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{60}{50}\right).
\]
