door wnvl1 » zo 15 mar 2026, 00:05
Dus naar Mars gaan mag geen probleem zijn...
--------------
We beschouwen een waarnemer die naar het centrum van de Melkweg reist, op een afstand van \(30000\) lichtjaar. De waarnemer versnelt tijdens de eerste helft van de reis met een constante eigenversnelling van \(1g\) en vertraagt tijdens de tweede helft met dezelfde grootte van eigenversnelling.
In relativistische eenheden kunnen we \(c=1\) nemen en geldt dat \(1g\) ongeveer gelijk is aan \(1\) lichtjaar per jaar\(^2\). De totale afstand is \(L = 30000\) lichtjaar, zodat de versnelfase een afstand van \(L/2 = 15000\) lichtjaar beslaat.
Voor beweging met constante eigenversnelling \(a\) kan de wereldlijn van de reiziger worden geschreven als een functie van de eigentijd \( \tau \). De positie als functie van de eigentijd is
\[
x(\tau) = \frac{1}{a}\bigl(\cosh(a\tau)-1\bigr),
\]
en de coördinatentijd in het ruststelsel van de Melkweg is
\[
t(\tau) = \frac{1}{a}\sinh(a\tau).
\]
Omdat de versnelling \(a = 1\) is in deze eenheden, vereenvoudigt de uitdrukking voor de positie tot
\[
x(\tau) = \cosh(\tau) - 1.
\]
Halverwege de reis moet de positie gelijk zijn aan \(15000\) lichtjaar. Dit geeft de vergelijking
\[
15000 = \cosh(\tau) - 1.
\]
Hieruit volgt
\[
\cosh(\tau) = 15001.
\]
De eigentijd tot het midden van de reis is dus
\[
\tau = \operatorname{arcosh}(15001).
\]
Met de identiteit
\[
\operatorname{arcosh}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)
\]
vinden we
\[
\tau = \ln\!\left(15001 + \sqrt{15001^2-1}\right).
\]
Omdat \(15001\) zeer groot is, kan men dit goed benaderen door
\[
\tau \approx \ln(2 \cdot 15001).
\]
Dit geeft numeriek
\[
\tau \approx 10.3 \text{ jaar}.
\]
Dit is de eigentijd voor de eerste helft van de reis. Omdat de tweede helft symmetrisch verloopt met een even grote maar tegengestelde eigenversnelling, is de totale eigentijd van de reiziger
\[
\tau_{\text{tot}} = 2\tau \approx 20.6 \text{ jaar}.
\]
De conclusie is dus dat een astronaut die met \(1g\) versnelt gedurende de eerste helft van de reis en met \(1g\) vertraagt gedurende de tweede helft, het centrum van de Melkweg op een afstand van \(30000\) lichtjaar kan bereiken in ongeveer \(20\) jaar eigentijd. Dit resultaat is tegenintuïtief, maar volgt uit het feit dat de snelheid gedurende de reis zeer dicht bij de lichtsnelheid komt, waardoor de tijdsdilatatie zeer groot wordt.
Dus naar Mars gaan mag geen probleem zijn...
--------------
We beschouwen een waarnemer die naar het centrum van de Melkweg reist, op een afstand van \(30000\) lichtjaar. De waarnemer versnelt tijdens de eerste helft van de reis met een constante eigenversnelling van \(1g\) en vertraagt tijdens de tweede helft met dezelfde grootte van eigenversnelling.
In relativistische eenheden kunnen we \(c=1\) nemen en geldt dat \(1g\) ongeveer gelijk is aan \(1\) lichtjaar per jaar\(^2\). De totale afstand is \(L = 30000\) lichtjaar, zodat de versnelfase een afstand van \(L/2 = 15000\) lichtjaar beslaat.
Voor beweging met constante eigenversnelling \(a\) kan de wereldlijn van de reiziger worden geschreven als een functie van de eigentijd \( \tau \). De positie als functie van de eigentijd is
\[
x(\tau) = \frac{1}{a}\bigl(\cosh(a\tau)-1\bigr),
\]
en de coördinatentijd in het ruststelsel van de Melkweg is
\[
t(\tau) = \frac{1}{a}\sinh(a\tau).
\]
Omdat de versnelling \(a = 1\) is in deze eenheden, vereenvoudigt de uitdrukking voor de positie tot
\[
x(\tau) = \cosh(\tau) - 1.
\]
Halverwege de reis moet de positie gelijk zijn aan \(15000\) lichtjaar. Dit geeft de vergelijking
\[
15000 = \cosh(\tau) - 1.
\]
Hieruit volgt
\[
\cosh(\tau) = 15001.
\]
De eigentijd tot het midden van de reis is dus
\[
\tau = \operatorname{arcosh}(15001).
\]
Met de identiteit
\[
\operatorname{arcosh}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)
\]
vinden we
\[
\tau = \ln\!\left(15001 + \sqrt{15001^2-1}\right).
\]
Omdat \(15001\) zeer groot is, kan men dit goed benaderen door
\[
\tau \approx \ln(2 \cdot 15001).
\]
Dit geeft numeriek
\[
\tau \approx 10.3 \text{ jaar}.
\]
Dit is de eigentijd voor de eerste helft van de reis. Omdat de tweede helft symmetrisch verloopt met een even grote maar tegengestelde eigenversnelling, is de totale eigentijd van de reiziger
\[
\tau_{\text{tot}} = 2\tau \approx 20.6 \text{ jaar}.
\]
De conclusie is dus dat een astronaut die met \(1g\) versnelt gedurende de eerste helft van de reis en met \(1g\) vertraagt gedurende de tweede helft, het centrum van de Melkweg op een afstand van \(30000\) lichtjaar kan bereiken in ongeveer \(20\) jaar eigentijd. Dit resultaat is tegenintuïtief, maar volgt uit het feit dat de snelheid gedurende de reis zeer dicht bij de lichtsnelheid komt, waardoor de tijdsdilatatie zeer groot wordt.
