Dag,

Je zit eigenlijk heel dicht bij de juiste redenering. De sleutel is dat je conditioneel moet rekenen: het genotype van de geteste vader is al gekend (14,18), dus dat moet je niet nog eens als extra populatiekans in de teller stoppen.

De paterniteitsindex is:

𝑃
𝐼
=
𝑃
(
kind
12
,
18
∣
geteste man is de vader
)
𝑃
(
kind
12
,
18
∣
willekeurige man is de vader
)
PI=
P(kind 12,18∣willekeurige man is de vader)
P(kind 12,18∣geteste man is de vader)
​

1. Teller

De geteste man heeft genotype 14,18.

Om een kind met genotype 12,18 te krijgen, moet hij dus het allel 18 doorgeven.
De kans daarop is:

1
2
2
1
​


Het allel 12 moet dan van de moeder komen. Omdat de moeder onbekend is, neem je de kans dat een willekeurige moeder het allel 12 doorgeeft. Die kans is gewoon:

𝑓
(
12
)
f(12)

Dus:

𝑋
=
1
2
𝑓
(
12
)
X=
2
1
​

f(12)
2. Noemer

Nu veronderstel je dat de vader een willekeurige man uit de populatie is.

Wat is dan de kans op een kind met genotype 12,18?

Onder Hardy-Weinberg is de kans op genotype 12,18:

2
𝑓
(
12
)
𝑓
(
18
)
2f(12)f(18)

Dus:

𝑌
=
2
𝑓
(
12
)
𝑓
(
18
)
Y=2f(12)f(18)
3. PI uitrekenen

Dan krijg je:

𝑃
𝐼
=
1
2
𝑓
(
12
)
2
𝑓
(
12
)
𝑓
(
18
)
PI=
2f(12)f(18)
2
1
​

f(12)
​


𝑓
(
12
)
f(12) valt weg:

𝑃
𝐼
=
1
4
𝑓
(
18
)
PI=
4f(18)
1
​


En dat is exact het antwoord dat je moest krijgen.

Waarom jouw tussenstap niet klopt

Je schreef iets zoals:

𝑋
=
𝑓
(
12
)
×
0,5
×
2
𝑓
(
14
)
𝑓
(
18
)
X=f(12)×0,5×2f(14)f(18)

Daar zit het probleem:

2
𝑓
(
14
)
𝑓
(
18
)
2f(14)f(18)

is de genotypefrequentie van de geteste vader in de populatie.

Maar die hoef je hier niet mee te nemen, want zijn genotype is al waargenomen. Je rekent dus niet “hoe waarschijnlijk is het dat we zo’n vader vinden?”, maar:

gegeven dat deze man genotype 14,18 heeft,

hoe waarschijnlijk is het kind 12,18 als hij de biologische vader is?

Daarom blijft in de teller alleen over:

1
2
𝑓
(
12
)
2
1
​

f(12)
En dat extra stuk in de oplossing?

Dat laatste stukje

2
𝑓
(
12
)
𝑓
(
18
)
2f(12)f(18)

is waarschijnlijk de kans op het kindgenotype in de populatie, dus iets dat bij de noemer hoort, niet nog eens extra bij de teller. Mogelijk is de oplossing daar onduidelijk opgeschreven, of worden er gezamenlijke kansen uitgeschreven die later weer wegvallen.

De kortste correcte redenering is gewoon:

𝑋
=
1
2
𝑓
(
12
)
,
𝑌
=
2
𝑓
(
12
)
𝑓
(
18
)
X=
2
1
​

f(12),Y=2f(12)f(18)

dus

𝑃
𝐼
=
1
4
𝑓
(
18
)
PI=
4f(18)
1
​


Je intuïtie was dus goed; je had alleen nog de populatiekans van het genotype van de geteste vader ten onrechte mee opgenomen.

Dag vrienden,
Ik zit vast met de volgende oefening als iemand mij zou kunnen helpen dan zou dit erg fijn zijn.

Ik moet de paterniteitsindex berekenen. De volgende gegevens zijn gekend.
Genotype geteste vader: 14,18
Genotype kind: 12,18
Genotype moeder: onbekend.

Het antwoord zou moeten zijn: 1/ (4x f(18))
Ik snap niet hoe ze hier aan komen.

Wat ik voorlopig heb is het volgnd:
PI= X/Y
Waarbij dat x= de kans dat het genotype van het kind 12,18 is als de man de biologische vader is van het kind
Y= de kans dat het genotype van het kind 12,18 is als de vader een random man is uit de populatie.

Voor X:
De vader heeft allel 18 en de kans om deze door te geven is 50%.
We gaan er dan vanuit dat allel 12 dan afkomstig is van de moeder. Dus de kans dat het allel van de moeder is, is de allelfrequentie van alle vrouwen die allel 12 hebben.
Dit geeft dan voorlopig het volgende voor X

X= f(12) x 0,5 x 2x f(14)xf(18)

In de oplossing staat er voor X
X= f(12) x 0,5 x 2x f(14) x f(18) x 2 x f(12) x f (18)

Maar ik snap niet waarom dat laatste “ 2 x f(12) x f (18)”. Er ook nog is bij moet

PS: kansrekening is niet mijn sterkste punt, dus er mag zeker ook uitleg gegeven worden omtrent de stappen hierin.
Alvast bedankt